¿Qué indica el valor de una función de densidad de probabilidad (PDF) en alguna x?

Question

Entiendo que la función de masa de probabilidad de una discreta al azar de la variable X es $y=g(x)$. Esto significa $P(X=x_0) = g(x_0)$.

Ahora, una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X es $y=f(x)$. Wikipedia define esta función $y$ a la media de

En la teoría de la probabilidad, función de densidad de probabilidad (pdf), o de densidad de una variable aleatoria continua, es una función que describe la probabilidad relativa de esta variable aleatoria tome un valor dado.

Estoy confundido acerca de el significado de 'probabilidad relativa", porque ciertamente no significa que la probabilidad! La probabilidad de $P(X<x_0)$ está dado por algunos integral de los pdf.

Entonces, ¿qué $f(x_0)$ indican? Se le da un número real, pero no es la probabilidad relativa de un valor específico para una CRV siempre cero?

Answer 1

La "probabilidad relativa" es ciertamente engañosa. Míralo como un límite: $$ f (x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {F (x + h) -F (x)} {h} $$ donde$F(x) = P(X \leq x)$

Answer 2

En general, si$X$ es una variable aleatoria con valores de un espacio de medida$(A,\mathcal A,\mu)$ y con pdf$f:A\to [0,1]$, entonces para todo el conjunto medible$S\in\mathcal A$,$$P(X\in S) = \int_S fd\mu $ $ Entonces, si$A=\Bbb R$ (y$\mu=\lambda$), entonces$$P(a<X<b)=\int_a^b f(x)dx$ $ Entonces,$f(x) = \displaystyle\lim_{t\to 0} \frac1{2t}\int_{x-t}^{x+t} f =\lim_{t\to 0} \frac1{2t} P(|X-x|<t) $ por ejemplo ... Podemos llamarlo ' probabilidad relativa '.

Answer 3

Introducción la estadística se centra en el PDF como la descripción de la población, pero en realidad es la CDF (acumulativas de función de densidad) que le da una comprensión funcional de la población, como puntos en el CDF denotar probabilidades sobre un rango relevante de medidas. Si se miran las estadísticas desde esta perspectiva, entonces, el PDF es sólo la descripción de la probabilidad de cambio con respecto a un cambio en torno a un punto a lo largo de la medida en la mano. Los valores en el archivo PDF por lo tanto, sólo darle un vistazo a la propagación. Por ejemplo, dadas dos distribuciones normales $N(\mu_1, \sigma_1^2)$$N(\mu_2, \sigma_2^2)$, si se elige un valor de $x$ para obtener el punto de $p_n=\mu_n+x\cdot\sigma_n$ para las respectivas distribuciones y obtenga $X_1[p_1 ] > X_2[p_2 ]$, entonces esto quiere decir $\sigma_1 < \sigma_2$. Relaciones similares para otras distribuciones.