Demostrar que $f(x)=0$ $[-1,1]$.

Question

Que $f:[-1,1]\rightarrow \mathbb{R}$ ser continuo con $f(0)=0$ y continuamente diferenciable en $]-1,1[$. Supongamos que %#% $ de #% demostrar que $$|f'(x)|\leq |f(x)|,\;\mbox{ for all }x\in]-1,1[.$ % todos $f(x)=0$.

Mi idea es tomar un punto (arbitraria) $x\in[-1,1]$ $x_0>0$, entonces aplicando el teorema de valor medio, existe $]-1,1[$ tal que

$y_0\in[0,x_0]$$

Así que si implica de $$|f(y_0)|\geq|f'(y_0)|=\frac{|f(x_0)-f(0)|}{|x_0-0|} \mbox{ then }|f(x_0)|\leq x_0|f(y_0)|,$ $f(y_0)=0$ y terminamos. Pero es $f(x_0)=0$ entonces puedo seguir y obtener una secuencia decreciente pero no estoy seguro que convergen a cero.

Gracias por algunos consejos.

Answer 1

Supongamos que $x_0>0$. Demostraste que $|f(x_0)|\le x_0|f(y_0)|$ $0<y_0 as="" con="" los="" mismos="" mostrar="" pasos="" puede="" que="" x_0="" y_0="">Inductivamente obtenemos a $|f(x_0)|\le x_0^n|f(z_n)|$ foer cada $n$. $|f(z_n)|$ definitivamente está delimitado por una constante fija $M$, por ejemplo el máximo de $f$ $[0,x_0]$. Desde $|x_0|

</y_0>

Answer 2

Sugerencia: Procedimiento a través de la contradicción, una aplicación repetida de la MVT produce una disminución secuencia ${c{n}}$ de los números reales limitado por debajo por $0$. Por la continuidad de $f$, la secuencia ${f(c{n}) }$ converge a $0$. Pero la hipótesis muestra que ${f(c_{n})}$ va en aumento de $0$, que es una contradicción.