Cálculo de bicaracteres de grupos finitos (pequeños)

Question

Estoy tratando de encontrar algunos grupos finitos con ciertas properites (espero que de orden pequeño; no más de 100, sospecho), y una de las cosas que necesito mirar son todos sus bicharros bilineales: mapas $G\times G \to \mathbb{C}^*$ donde al fijar una coordenada cualquiera se obtiene un carácter lineal de G. Por ejemplo, si $G$ es el grupo simétrico $S_n$ entonces hay dos bicaracteres: el trivial (todos los valores son 1); y el definido para ser -1 cuando ambas entradas son impar, y 1 en caso contrario.

¿Existe alguna forma computacionalmente eficiente de calcular todos esos bicharracos? Soy bastante competente en el uso de Mathematica, pero actualmente no estoy muy familiarizado con otros sistemas, como GAP y Magma. Si los otros son mejores para este propósito, me parece bien aprender a usarlos, especialmente si puedo convertir fácilmente las respuestas a código de Mathematica (los bicaracteres son sólo una parte de un panorama más amplio que estoy manejando actualmente con Mathematica). Puedes suponer que ya conozco los caracteres lineales irreducibles de $G$ (tengo entendido que son fáciles de conseguir con sistemas como GAP).

EDIT: Probablemente vale la pena señalar que necesito conocer los bicharracos explícitamente, y no hasta el isomorfismo. Necesito realizar cálculos con ellos y otros datos.

Answer 1

Dejemos que $b:G\times G \to A$ sea un mapa bilineal, donde $A$ es abeliano. Entonces $b([g,h],k) = [ b(g,k), b(h,k) ] = 1$ con la primera igualdad de la bilineal ( $[g,h] =g^{-1} h^{-1} gh$ ) y la segunda por la conmutatividad de $A$ . Esto significa que $[G,G] \times [G,G]$ está en el "núcleo", es decir, $b$ es constante en los cosets de $[G,G] \times [G,G]$ Así que también podríamos ver $b: G/[G,G] \times G/[G,G] \to A$ como un mapa bilineal entre grupos abelianos.

Por lo tanto, $b \in \operatorname{Hom}( G/[G,G] \otimes G/[G,G], A )$ que se puede calcular con bastante facilidad para un $G$ . Para su $A$ , acabamos de obtener un grupo isomorfo a $ G/[G,G] \otimes G/[G,G]$ .

En términos agradables, dejemos que $G^*$ sea el grupo de caracteres lineales de $G$ . Recordemos que $G^*$ es un grupo abeliano con el producto tensorial teórico del carácter (más sencillamente, sólo la multiplicación por coordenadas) como su producto. Los bicaracteres bilineales de $G$ forman un grupo isomorfo a $G^* \otimes_{\mathbb{Z}} G^*$ .

Por ejemplo, con $G=S_n$ , $G^* = \{ \operatorname{sgn}^i : i \in \{0,1\} \} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $$G^* \otimes G^* = \{ \operatorname{sgn} \otimes \operatorname{sgn}, 1 \otimes 1 \} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

Hazme saber si necesitas más detalles sobre el caso de los grupos abelianos; asumo que la idea principal que necesitabas es que puedes asumir $G$ es abeliana.

Answer 2

He descubierto cómo obtener los bicharracos a partir de los caracteres lineales. La idea básica es que el (conjunto de todos) los caracteres y el (conjunto de todos) los valores que toman son intercambiables: basta con sustituir los escalares que describen el carácter lineal por un carácter del mismo orden, y hacerlo de forma coherente (para que siga siendo un homomorfismo de grupo, a saber).

Un ejemplo debería aclarar lo que realmente significa.

Considere $G=C_2\oplus C_2$ El grupo 4 de Klein. Tiene cuatro caracteres lineales (cómo estoy ordenando los elementos debería ser discernible por el contexto):

$\chi_0=(1,1,1,1),$ $\chi_1=(1,-1,-1,1),$ $\chi_2=(1,1,-1,-1),$ $\chi_3=(1,-1,1,-1)$ .

El carácter lineal general tiene la forma $(1,a,a*b,b)$ , donde $a,b$ son $\pm 1$ .

Para obtener un bicarácter general: sustituye cualquier 1 del carácter general por $\chi_0$ . Sustituir un -1 por cualquiera de $\chi_1,\chi_2,\chi_3$ . O, más generalmente, sustituir $a$ y $b$ por cualquiera de los 4 caracteres lineales de $G$ . Un ejemplo de bicarácter de $G$ aquí sería por lo tanto $(\chi_0, \chi_3,\chi_1,\chi_2)$ .

Si el carácter lineal tuviera una entrada como $a*b$ en él (como ocurriría con los grupos diedros, entre otros muchos), entonces la entrada del bicarácter en esa posición sería el producto de los caracteres que estamos sustituyendo $a$ y $b$ por. Y el orden del carácter que estamos poniendo tiene que ser el mismo que el orden del escalar que estamos sustituyendo (así que sólo podemos sustituir una raíz primitiva n-ésima de la unidad por un carácter de orden n).

No estoy muy seguro de cuál es la mejor manera de codificar algo así en Mathematica/GAP sin hacer mucho trabajo a mano, pero es de suponer que se puede hacer. Cualquier idea al respecto será apreciada.

EDIT: El grupo de bicharracos es isomorfo a $\operatorname{Hom}(G,\widehat{G})$ de una manera bastante obvia. Este es un enunciado más formal de lo que escribí anteriormente, y es útil tanto en la teoría como en el cálculo explícito. Al menos, lo suficientemente útil para mis propósitos actuales. Nótese que también $\operatorname{Hom}(G,\widehat{G})\cong \operatorname{Hom}(\widehat{G},\widehat{G})$ , ya que $G/G'\cong \widehat{G}$ que es esencialmente lo que Jack estaba mirando.