Estoy leyendo el Capítulo 6 de Martin, introducción a SUSY http://arxiv.org/abs/hepph/9709356, que es acerca de RGEs en el MSSM. Traté de convencerme de que algunos de los cálculos, y yo estaba muy pegado con nada de lo que ha Yukawas en ella. No sé cómo lidiar con ellos. Tomemos, por ejemplo, la anómala de la fórmula de la dimensión, $$\gamma^i_j =\frac{1}{16 \pi^2} [\frac{1}{2} Y^{imn}Y^*_{jmn} - 2 g_a^2 C_a(i)\delta^i_j]$$ donde, $g_a$ es un indicador de acoplamiento correspondiente a un grupo de $a$, e $C_a(i)$ es el Casimir invariante. Y $Y^{imn}$ denota Yukawas.
Por ejemplo, $$\gamma^{H_u}_{H_u} =\frac{1}{16 \pi^2} [3 Y^*_t Y_t - \dots]$$ $$\gamma^{\bar{d}_3}_{\bar{d}_3} =\frac{1}{16 \pi^2} [2 Y^*_b Y_b - \dots]$$ $$\gamma^{\bar{Q}_3}_{\bar{Q}_3} =\frac{1}{16 \pi^2} [Y^*_t Y_t + Y^*_b Y_b - \dots]$$
los puntos son para el segundo término que sé cómo calcular. Pero no sé cómo los resultados de la Yukawas se obtuvieron!
Mi entendimiento es que los índices de $i,j,k$ son de la familia de índices para quirales superfields. Explícitamente, $$ Y^{ijk} = Y^{\Phi_i \Phi_j \Phi_k}$$ Así que si yo quería para calcular, el Yukawa parte de $\gamma^{H_u}_{H_u}$, me gustaría probar: $$Y^{H_u mn}Y^*_{H_u mn} = Y^{H_u \bar{u}_m Q_n}Y^*_{H_u \bar{u}_m Q_n} + Y^{H_u Q_m \bar{u}_n}Y^*_{H_u Q_m \bar{u}_n} + \text{other permutations in superfields?} $$ Si yo elegí la tercera familia aproximación como en el de Martin notas, a continuación, $m=n=3$ Pero no estoy seguro de que esto es correcto o a dónde conduce.
Podría alguien ayudarme con esto. ¿Cómo debo manejar $Y^{imn}Y^*_{jmn}$ para obtener esos resultados?
