Confusión entre ideal principal e ideal

Question

Artin define un ideal $I$ como :

1. $I$ es un subgrupo de $R^+$
2. Si $a \in I$ y $r \in R$ entonces $ra \in I$

Y el Ideal Principal se define como

"En cualquier anillo, el conjunto de múltiplos de un elemento particular $a$ forma un ideal llamado ideal principal generado por $a$ "

Mi pregunta es:

Si el conjunto de múltiplos de un elemento concreto se llama ideal principal, entonces esa es automáticamente una de las propiedades de un ideal (Proposición 2), entonces ¿es todo ideal un ideal principal?

Answer 1

No. Si $I$ es un ideal y $a\in I$ entonces cada múltiplo de $a$ también pertenece a $I$ . Pero lo contrario no es cierto: puede que no haya ningún elemento $a\in I$ tal que cada elemento de $I$ es un múltiplo de $a$ .

Consideremos, por ejemplo, el anillo ${\mathbb Z}[x,y]$ . Sea $I$ sea el conjunto de polinomios $p(x,y)$ tal que $p(0,0) = 0$ . Es fácil comprobar que ese $I$ es un ideal. Sin embargo, no hay ningún elemento $a\in I$ que divide cada elemento en $I$ . (En particular, no hay ningún elemento $a\in I$ que divide ambos polinomios $x$ y $y$ .)