Supongamos que es continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ y $f(0)=f(1)$.

Question

Supongamos que es continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ y $f(0)=f(1)$. La pregunta dar un ejemplo concreto de $f$ tal que: para todos los $a,b \in [0,1]$ $|a-b|=\frac {2}{5}$, $f(a)\ne f(b)$ de satisfacer.

Answer 1

Una manera sistemática de hacer esto es encontrar una función de este tipo de satisfacciones: $$f\left(x+\frac{2}5\right)=f(x)+1$$ Una vez que hayas definido en el intervalo de $[0,\frac{2}5]$ el resto de los valores se puede encontrar a partir de esta relación. Las únicas restricciones en $f$ en ese intervalo será que $f(\frac{1}5)=f(1)-2=f(0)-2$ y $f(\frac{2}5)=f(0)=1$. Cualquier continua $f$ satisfacer las necesidades y sujeto a la relación anterior es un ejemplo. Este enfoque nos da ejemplos para cualquier longitud de la cuerda $|a-b|$ otros de $\frac{1}n$ (donde no existen ejemplos).

Un ejemplo claro es $f(x)=\frac{5}4\cos(5\pi x)+\frac{5}2x$ que se origina a partir de la recurrencia de arriba por la elección de una adecuada función periódica, la adición de un múltiplo de $x$ para obtener el deseado aumento y, a continuación, ajuste la amplitud de la onda adecuadamente para obtener los extremos de la línea.