Independencia del axioma de comprensión

Question

Lo que está mal con la siguiente línea de razonamiento, si es así?

La comprensión axioma de Zermelo de la teoría de conjuntos sería comprobable por los otros axiomas, si el siguiente fue comprobada:

($*$) De todas las subclases de un conjunto de conjuntos.

Luego, especialmente a todos definible subclases de un conjunto se establece, que es esencialmente lo que la comprensión axioma dice.

Ya que supongo que la comprensión axioma es que no comprobable por los otros axiomas, ($*$) no debe ser comprobable. ¿Qué significa esto? Hay modelos de la teoría de conjuntos con las subclases de conjuntos que no son conjuntos?

Answer 1

Usted no puede traducir su axioma "todas las subclases de un conjunto son conjuntos" en una frase lógica de ZFC (con puño-orden cuantificadores, conectivas lógicas y $\in$). Puesto que esta frase no existe, no se puede discutir su demostrativa de los otros axiomas.

Sin embargo usted puede probablemente traducirlo si trabaja con un lenguaje más rico que el de ZFC, como teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel

Answer 2

En el nivel informal, seguro. Si ZFC tiene un modelo, tiene un modelo contable. Que modelo contable, desde el punto de vista externo, tiene sólo countably muchos conjuntos.

Ahora mira la foto de $\mathbb{N}$ en este modelo. La clase de todos los "mundo real" subconjuntos de esto es "realmente" incontables. Así que la mayoría de estos subconjuntos no se pone en nuestra contables modelo de ZFC.

Técnica observaciones: En relación con el modelo contable afirmación, debería haber mencionado la Lowenheim-Skolem Teorema. Y uno necesita, además de mostrar que el modelo contable puede ser seleccionada de tal forma que sus elementos son conjuntos, y el $\in$ relación de la modelo es la ordinaria $\in$ relación. Esto se puede hacer.