Otra generalización de Hensel ' lema s

Question

Sé que esto es un "peligroso" tema para hacer una pregunta al respecto, puesto que un montón de preguntas acerca de Hensel del lexema ya han sido respondidas, pero he buscado y no pudo encontrar esta versión del lema (por favor, dime cuando ya está contestada!)

Estoy tratando de encontrar una prueba a una forma generalizada de Hensel el lema:

Deje $F(x)$ ser un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$. Si $a_0\in\mathbb{Z}_p$ satisface $F'(a_0)\equiv0 \pmod{p^M}$ pero $F'(a_0) \text{ not equivalent to } 0 \pmod{p^{M+1}}$, y si $F(a_0)\equiv0 \pmod{p^{2M+1}}$, entonces no hay una única $a\in\mathbb{Z}_p$ tal que $F(a)=0$ e $a\equiv a_0\pmod{p^{M+1}}$.

No tengo ni idea de por dónde empezar con esta prueba. Es probablemente algo con la inducción a $M$,, pero yo realmente no sé cómo empezar, ya que hay tanta información en el lema! Podría alguien ayudarme?

Gracias de antemano!

Answer 1

Deje $a_n\in\Bbb Z_p$ tal que $v_p(F'(a_n))=M$ e $v_p(F(a_n))>2M$. Entonces $$a_{n+1}=a_n-\frac{F(a_n)}{F'(a_n)}$$ satisfacer $a_{n+1}\in\Bbb Z_p$, $a_{n+1}\equiv a_n\pmod{p^{M+1}}$, $v_p(F'(a_{n+1}))=M$ e $v_p(F(a_{n+1}))>v_p(F(a_{n}))$.

Para dejar $e=v_p(F(a_n))$, luego por la fórmula de Taylor, tenemos $$F(a_n+xp^{e-M})\equiv F(a_n)+xp^{e-M}F'(a_n)\pmod{p^{2e-2M}}$$ Desde $$v_p\left(-\frac{F(a_n)}{p^{e-M}F'(a_n)}\right)=e-(e-M+M)=0$$ tenemos \begin{align} a_{n+1} &=a_n-\frac{F(a_n)}{F'(a_n)}\\ &\equiv a_n\pmod{p^{e-M}}\\ &\equiv a_n\pmod{p^{M+1}} \end{align} y \begin{align} F(a_{n+1}) &\equiv 0\pmod{p^{2e-2M}}\\ &\equiv 0\pmod{p^{e+1}} \end{align} por lo tanto $v_p(F(a_{n+1}))>e=v_p(F(a_n))$. Por otra parte, \begin{align} F'(a_{n+1}) &\equiv F'(a_n)\pmod{p^{e-M}}\\ &\equiv F'(a_n)\pmod{p^{M+1}} \end{align} por lo tanto $v_p(F'(a_{n+1}))=v_p(F'(a_n))=M$. Por lo tanto la afirmación de la siguiente manera por inducción en $n$.