¿Cuál es exactamente la paradoja en la paradoja de Zenón?

Question

He conocido acerca de la paradoja de Zenón durante algún tiempo ahora, pero nunca he entendido realmente qué es exactamente la paradoja es. Las personas siempre parecen tener diferentes explicaciones.

De la wikipedia:

En la paradoja de Aquiles y la Tortuga, Aquiles está en una carrera a pie con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Si suponemos que cada corredor que comienza a ejecutar a algunos de velocidad constante (uno muy rápido y muy lento), entonces después de un tiempo finito, Aquiles tendrá correr 100 metros, trayéndolo a la tortuga del punto de partida. Durante este tiempo, la tortuga se ha ejecutado un período mucho más corto de la distancia de, digamos, 10 metros. A continuación, se llevará a Aquiles un poco de tiempo más para correr esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más allá, y más tiempo aún para llegar a este tercer punto, mientras que la tortuga se mueve hacia adelante. Por lo tanto, cada vez que Aquiles alcanza a la tortuga ha sido, él todavía tiene camino por recorrer. Por lo tanto, debido a que hay un número infinito de puntos de Aquiles debe llegar a donde la tortuga ya ha sido, que nunca puede superar a la de la tortuga. __

Y luego nos dicen que esto es una paradoja, ya que él debe ser capaz de alcanzar a la tortuga en tiempo finito? Me parece que en la paradoja estamos ralentizando el tiempo proporcionalmente. No estamos entonces ya con el hecho de que la suma de las "secuencias de tiempo" maquillaje de tiempo finito? Me siento como que hay algún tipo de lógica circular que participan aquí.

¿Qué es exactamente la paradoja?

Answer 1

Es sólo una paradoja si se supone que la suma de (contables) una infinidad de números no puede ser finito. Pero la matemática moderna no tiene ningún problema con infinitas sumas que producen resultados limitados - en el caso de la paradoja de Zenón, la suma en cuestión es de $$ \sum_{k=1}^\infty 2^{-k} = 1 \text{.} $$

No todo lo que se llama una paradoja es en realidad una contradicción lógica. Muy a menudo, las cosas sólo parecen incoherentes porque nos inadvertedly hacer una suposición adicional, que resulta ser incorrecta. En el caso de Zenón de la paradoja, que es la suposición de que el infinito sumas no puede dar resultados limitados.

Answer 2

La paradoja es que necesitas hacer "acciones" infinitas para llegar a la tortuga, por lo tanto, nunca debes llegar a la tortuga porque los humanos no pueden hacer acciones infinitas en un tiempo finito.

Por supuesto, no es una verdadera paradoja, está bien explicado por "aumenta el tiempo de escala al escalar el espacio, por lo tanto, tiene un número finito". Tenga en cuenta que estábamos en la antigua Grecia, cosas como "series convergentes" estaban lejos de ser definidas.

Answer 3

En la paradoja de Aquiles y la Tortuga, Aquiles está en una carrera a pie con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Si suponemos que cada corredor que comienza a ejecutar a algunos de velocidad constante (uno muy rápido y muy lento)...

Los antiguos Griegos no tenían una noción precisa de la velocidad. No fue hasta el siglo 16 que Galileo se mide primero la velocidad teniendo en cuenta la distancia recorrida y el tiempo que se tarda.

Suponiendo constantes las velocidades de $S_A$ $S_T$ (m/s) por la de Aquiles y la Tortuga, respectivamente, sabemos que, en este ejemplo, Aquiles habían atrapado a la Tortuga en $\frac {100} {S_A-S_T}$ segundos.

Con sólo una vaga noción de la velocidad, los antiguos Griegos estaban perplejos por el hecho de que, en ese intervalo de tiempo, ambos corredores se han pasado por una infinidad de puntos en el espacio, la llegada a cada punto de ser un "evento". En la moderna de la matemática moderna, no tenemos ningún problema con infinitamente muchos de esos eventos que ocurren en un intervalo de tiempo finito.

Answer 4

Esto es* un (pseudo)la paradoja de la infinita divisibilidad. Algunas personas incluso utilizan argumentos similares hoy en día como una justificación para finitism.

Cuando nos fijamos en todo, toda la historia es eminentemente plausible. Y con el conocimiento de hoy, incluso podemos dibujar la continuidad durante el cual ocurre la historia, de la marca en los eventos en Zenón la historia de suceder, y se suman todos los períodos para ver que el resultado es precisamente el tiempo que toma para que Aquiles adelantar a la tortuga.

Pero eso no es toda la historia; el problema no es "¿cómo podemos convencernos de que el movimiento es teóricamente posible?" para que el continuum de ver hace un buen trabajo: el problema es "¿cómo podemos reconciliar el movimiento con la infinita divisibilidad?" para que el cambio de la infinitamente dividido punto de vista de la espalda a la continuidad punto de vista es no una resolución adecuada.

La (aparente) el problema es que Zenón ha escrito una interminable secuencia de eventos, todo lo cual debe ocurrir antes de que Aquiles alcanza a la tortuga. No hay ningún sitio donde agregar "Aquiles alcanza a la tortuga" en la lista, ya que sigue adelante sin fin.

Tal vez más familiar moderno ejemplo podría ayudar a mostrar el problema: el antiguo problema de "¿qué $1 - 0.\overline{9}$ igual?" ($0.\overline{9}$$9$repite infinitamente)

Un ingenuo, respuesta incorrecta de aquellos que no han captado realmente lo infinitamente repetida significa es que esto es $0.\overline{0}1$. Estas personas no ven el problema que Zeno trae, así que supongo que no eres uno de ellos.

Sin embargo, una vez que entendemos lo que está pasando, entendemos que el pedir es interminable; seguimos recibiendo $0$'s infinitamente a medida que nos movemos a la derecha, y no hay ningún lugar para que un $1$: entendemos que en realidad la diferencia es $0.\overline{0}$, o simplemente cero.

Ahora, de Zeno inteligente argumento es análogo a decir que no puede ser un $1$ después de infinidad de $0$'s, después de todo. Y ya que entendemos que no es realmente posible, así que la idea de la infinita divisibilidad no retienen el agua. (o de la idea de movimiento no retiene el agua, como Zenón reclamado)

Lo que necesitamos para resolver este problema es la idea de un transfinito secuencia de eventos. Que realmente tenemos una secuencia infinita de eventos y, a continuación, más eventos después de eso.

Desde Zenón del tiempo, hemos llegado con más giros en esto; si usted puede convencer a ti mismo que realmente tiene sentido mirar Zeno de la secuencia de los acontecimientos y a la conclusión de que se pueden completar y continuar con Aquiles adelantar a la tortuga, a continuación, el siguiente enigma es por qué Thompson de la lámpara no se muestran tal razonamiento formalmente absurdo.

*: Zenón no es todo, por lo que no podemos preguntar si realmente esto es lo que tenía en mente.

Answer 5

Siempre entendí lo siguiente: como la distancia entre Aquiles y la tortuga disminuye (sin tener en cuenta puntos/etapas), la distancia se convierte en más pequeña, más pequeño, menor a un punto que está en la naturaleza infinita. Por lo tanto, Aquiles nunca podrían pasar la tortuga.