¿Es cada mapa $\mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$ homotópicas la identidad sobreyectiva?

Question

Sea f:$\mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$ un mapa continuo, homotópico al mapa de identidad$\text{Id}_{\mathbb{T}^2}$. ¿Es cierto que$f$ es sobreyectivo?

(El argumento para$\mathbb{S}^2$, en lugar de$\mathbb{T}^2$ no funciona aquí, ya que el torus menos un punto no se puede contraer).

Answer 1

Sí. Aquí es más una observación general. Deje $M$ $N$ ser cerrado conectado orientado $n$-colectores, por lo que el $H_n(M, \mathbb{Z}) \cong H_n(N, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ canónicamente. El grado de un mapa de $f : M \to N$ es el entero $d$ tal que $f$ actúa mediante la multiplicación por $d$$H_n$. En particular, la identidad de $\text{id}_M : M \to M$ tiene el grado $1$.

Proposición: Si un mapa de $f : M \to N$ tiene un valor distinto de cero grado, entonces es surjective.

Prueba. Vamos a comprobar el contrapositivo. Supongamos $f : M \to N$ no es surjective. $N$ menos cualquier punto de fuga $H_n$ por la dualidad de Poincaré (esto es cierto en general para cualquier conectados noncompact $n$-colector), y por lo $f$ induce el cero mapa en $H_n$: $f$ tiene grado cero. $\Box$

Este es un sorprendente y poderoso resultado una vez que usted tiene algunas herramientas para calcular el grado de un mapa; por ejemplo puede ser usado para demostrar el teorema fundamental del álgebra, como se describe en MO.