suma de una serie positiva

Question

Suficientemente grande $m$, quiero calcular la siguiente serie.

$\displaystyle\sum{i=0}^{3m}\sum{j=0}^m \sum{k=0}^m\sum{l=0}^m \min(i,j+k+l)$

¿Excepto todo caso por caso teniendo en cuenta, hay cualquier truco inteligente?

Answer 1

Sugerencia: \begin{eqnarray} \sum{i=0}^{3m}\sum{j=0}^m \sum{k=0}^m\sum{l=0}^m \min(i,j+k+l) &=& \sum{j,k,l=0}^m \left[\sum{i=0}^{j+k+l} i + \sum{i=j+k+l+1}^{3m}(j+k+l) \right]\ &=& \sum{j,k,l=0}^m \bigg[ \frac{1}{2}(j+k+l)(j+k+l+1) \ &&+ (j+k+l)(3m-j-k-l)\bigg] \end{eqnarray }

La suma puede encontrarse utilizando única\begin{eqnarray} \sum{k=0}^n 1 &=& n \ \sum{k=0}^n k &=& \frac{n(n+1)}{2} \ \sum_{k=0}^n k^2 &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{eqnarray }