Si matriz $A$ $\mathbb{R}^3 $ tal que, $A^3 = I$, $\det A = 1$. ¿Hay una tal matriz que no es ortogonal, rotación e identidad?

Question

Intenté utilizar el teorema de Cayley – Hamilton para aprender algo sobre la matriz. Usando el teorema tenemos:

$p(A)=0 = - A^3 + \text{tr} A\cdot A^2 -\left(\begin{vmatrix}a{11} && a{12} \ a{21} && a{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a{22} && a{23} \ a{32} && a{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a{11} && a{13} \ a{31} && a{33} \end{vmatrix}\right) A + \det A$. Desde $-A^3 + \det A \cdot I = 0$, entonces el $A = \frac{\left(\begin{vmatrix}a{11} && a{12} \ a{21} && a{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a{22} && a{23} \ a{32} && a{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a{11} && a{13} \ a{31} && a{33} \end{vmatrix}\right)}{\text{tr} A}I$ %. Con esto en mente no puedo obtener la matriz de la rotación incluso para no decir nada sobre algo más. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Aquí está un ejemplo rápido: $$ A = \pmatrix{\cos(2\pi/3) & -10\sin(2 \pi /3) & 0\\ \frac 1{10}\sin(2 \pi /3) & \cos (2 \pi /3) & 0\\0 & 0 & 1} $$ Es como la habitual rotación, pero con las entradas fuera de la diagonal ligeramente alterado. Mostrar que $A^3 = I$, pero $A$ es no ortogonal (o rotación) desde $A^TA \neq I$.

---

Otro ejemplo fácil: $$ A = \pmatrix{\cos(2\pi/3) & \sin(2 \pi /3) & 2\\ \sin(2 \pi /3) & \cos (2 \pi /3) & 3\\0 & 0 & 1} $$ el mismo argumento se aplica.

Answer 2

Desde $A^3-I=0$ se obtiene que la posible autovalores son $1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}$.

Por otra parte, desde la $A$ $3 \times 3$ tiene de 1 o 3 real de los autovalores.

Caso 1: Todos los autovalores son reales. Entonces, el polinomio mínimo de a $A$ $(x-1)^k$ y se divide $x^3-1$, por lo tanto es $x-1$. Esto demuestra que $A$ es diagonalizable y, por tanto, $$A=PIP^{-1}=I$$.

Caso 2: $A$ tiene dos autovalores complejos. A continuación, $1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3}$ son todos los autovalores, autovectores $u,v, \bar{v}$.

Ha $A=PDP^{-1}$ donde $$P=(u v \bar{V})$$ and $D=diag (1, e^{2\pi i/3}, e^{4\pi i/3})$

Ahora, escriba $$v=v_1+i v_2$$ Mostrar que $$A= (u \;v_2 \;v_2) \begin{bmatrix}1 &0 & 0\\ 0& \cos(2\pi /3 )& \sin(2\pi /3)\\ 0& -\sin(2\pi /3 )& \cos(2\pi /3) \end{bmatrix}(u \;v_2 \;v_2) ^{-1}$$