Aquiles sin tortuga

Question

Yo soy de Aquiles, y, sin tortuga en frente de mí, puedo empezar a correr en línea recta.

El $1$st metro, me cubra en $1/2$ segunda.
El $2$nd metros en $1/4$ segunda.
El $3$rd metros en $1/8$ segunda.
El $n$-th metros en $1/2^n$ segunda, $n = 1,2,3,… $

Si puedo hacer esto, entonces a medida que el tiempo $t = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ··· + 1/2^n$ tiende a $1$, la distancia de mi posición inicial tiende a infinito, debido a que $d = 1 + 1 + 1 + ··· + 1 = n$. También mi velocidad tiende a infinito así.

La pregunta es: donde puedo ser a veces, después de 1 segundo? Puedes sugerir posibles posiciones?

O no se sigue que no puedo ejecutar de esta manera, que mi velocidad no tienden a infinito? Pero me muevo en el espacio abstracto! Así, he comprobado que el espacio abstracto mi velocidad está limitada? Pero, si en lugar de $1/2^n$, uso $1/n$, entonces el tiempo tiende a infinito, así que no hay problema!

Así que, ¿alguien sabe una respuesta clara a Zenón de tipo paradoxa respecto de la subdivisión de tiempo?

Answer 1

Vale la pena señalar que hay algunos realmente muy profundas cuestiones acerca de la física clásica al acecho en la región de esta pregunta.

Teoría gravitacional de newton, por ejemplo, en el hecho de no descarta la posibilidad de partículas "la aceleración del universo" en tiempo finito. Por ejemplo, hay un papel por J. N Mather y R. McGehee en "Soluciones de la colineales cuatro de la carrocería problema que se convierten infinito en un tiempo finito" (en J. Moser, ed., Los Sistemas dinámicos, Teoría y Aplicaciones (Springer, 1975)). Esto implica cuatro punto-masa, las partículas se mueven en virtud de la atracción gravitacional mutua, y en efecto, la energía potencial dada por dos de las partículas a medida que se acercan el uno al otro mientras que acelerar juntos se da a las otras partículas (por un número infinito de rebotes en tiempo finito) para poner todas las partículas a una distancia infinita ("fuera del universo") por un tiempo limitado! Muy, muy lindo.

Ahora para un divertido implicación: la teoría gravitacional de Newton, el tiempo se invierte. De modo que las ecuaciones que permiten la inversión de la solución que se da un vacío universo hasta el momento de $t$, y, a continuación, cuatro colineales "space invaders" aparecen desde el infinito, uno que se acelera a partir de una dirección, dos de los otros, con la cuarta partícula rebota locamente entre ellos ...

Que bien muestra que, sin otras limitaciones, la teoría gravitacional de Newton, no es en sí misma una teoría determinista (dado un universo hasta ahora, podría continuar vacío, o usted podría próxima a los cuatro colineales punto-que las masas lleguen al infinito, tanto de forma coherente con la teoría).

Divertido, ¿eh?

[Hay más acerca de este tipo de cosas en un libro muy famoso, John Earman de Una Cartilla de Determinismo (Reidel 1986).]

Answer 2

La pregunta es: donde puedo ser a veces, después de 1 segundo? Puedes sugerir posibles posiciones?

Aquiles, después de este segundo te escape tu espacio. De hecho, cada pulgada de ella ya estará detrás de ti. Entonces, debido a su mundo de línea será unextendable, tendrás que volver a Elysium. Pero usted tendrá un montón de fresco impresiones.

Pero, si en lugar de $1/2^n$, uso $1/n$, entonces el tiempo tiende a infinito, así que no hay problema!

De hecho, aquí no hay ningún problema, pero es bastante aburrido manera de pasar el tiempo. Usted puede pedir a Sísifo o Danaides acerca de tales cosas.

Answer 3

El único matemático de la dificultad que veo es la siguiente: No existe "agradable" funciones " $f: (0,1) \to \mathbb{R}$ tal que no es "razonable" con el fin de prolongar $f$ a una función $\tilde{f}: (0,1] \to \mathbb{R}$. Como Henry señala con razón, $f(t) := - \log(1-t)$ es una dicha función. Por supuesto, hay un montón de otros.

En el estudio presentado, hay una razón intuitiva a preguntarse acerca de $f(1)$ (e $f(t)$$t>1$), pero no me parece que debe haber alguna razón matemática, para que esto sea justificado. Desde la perspectiva de la física, creo que te están engañando un poco: Por un lado, se está asumiendo que todo lo que en el modelo se comporta muy bien para cosas como la velocidad a definirse (corresponging aproximadamente a la posición de ser una función derivable de tiempo), y por los límites funcione muy bien. Por otro lado, están considerando la posibilidad de una partícula que se llegue a algún tipo de infinito en lo finito de tiempo, lo cual es problemático porque "agradable" las funciones no alcanzar el infinito cuando el tiempo es finito (lo que habría de ser la diferenciabilidad decir?, por ejemplo). La física no funcionan bien con el real infinitos, eso es todo, creo.

Answer 4

Si la distancia recorrida es $d$ después de tiempo $t$, entonces su descripción sugiere (al menos para el número entero positivo $d$) que $$t = 1-2^{-d}.$$ This is equivalent to $% $$d = - \dfrac{\log(1-t)}{\log(2)}.$

Ahora vemos el problema. $t \gt 1$, Tenemos $1-t \lt 0$, y tomando el logaritmo de un número negativo no da un número real.

Answer 5

Como me perdí un poco en tu editado el post, voy a seguir a la antigua versión. Espero que no te importa.

Hemos de Aquiles corriendo hasta el infinito. Él cubrirá n^º medidor de su viaje en $\frac1{2^n}$ de un segundo. ¿Cuál es su distancia después de un segundo?

Pensemos un segundo como de una cantidad constante de tiempo. Digamos que el infinito significa "independientemente de cuánta cantidad que usted tiene, usted puede tener más". Entonces, supongo, tenemos una cantidad infinita de "tiempo" y "espacio".

(Antes de continuar, debemos distinguir entre "el tiempo" y "espacio", cantidades variables sin significado físico, y el tiempo y el espacio, de los objetos de la realidad física. "El tiempo" y "espacio" (o distancia) son números nada menos, nada más.)

Debido a que el "espacio" es infinito, sin importar lo lejos que estamos desde el principio, podemos ir más allá. Lo mismo se aplica a tiempo"; sin embargo tarde que es, puede llegar a ser más tarde".

Y Aquiles - usted, mi amigo - se ejecuta. Digamos que empecé a correr cuando el "tiempo" y "a distancia" se "cero" o "no cantidad". Porque tanto "tiempo" y "espacio" son infinitas, se puede "ir más allá" y que puede "llegar tarde". Esto es cierto siempre que, dondequiera que estén.

Y ahora, que introdujo una función que asigna "¿cuánto tiempo le tomó para cubrir n^º medidor": $f(n) = \frac1{2^n}$. Esta función toma el número ordinal del medidor (1^st, 2^nd etc.) y le da a usted cuánto de una "segunda", que es como mucho de cierta cantidad constante que hemos recogido anteriormente, se llevó a cubrir.

Voy a introducir un poco diferente función: $$t(n) = \sum_{k=1}^\infty f(k).$$ Esta función toma el número ordinal del medidor de nuevo y vuelve ¿cuánto tiempo le tomó para llegar allí.

Te gustaría saber dónde usted está después de un segundo. Bien, esta pregunta no tiene sentido. Ejecutar tan rápido (y lo que es más importante, aún más rápido) que cubre la totalidad del espacio infinito (cualquier distancia desde el inicio) en menos de un segundo. Que no es sorprendente dada la configuración que usted eligió. La función de $t(n)$ I se define un "mapa" entre números naturales $(1, 2, 3 \dots)$ y el intervalo de $[0, 1)$ de los números reales. Nunca va a llegar, porque en el momento en que uno, que sería "en el infinito" y que no es posible, porque se puede ir más allá. Y puede ser más tarde, demasiado: si "es tiempo de $\frac12 = 0.5$ segundos", puede ser tiempo de $\frac34 = 0.75$ segundos, a continuación, $\frac78=0.875$ y así sucesivamente y así sucesivamente.

Ves? El tiempo no se había detenido, que sigue funcionando. Pero usted eligió correr tan rápido, que la pregunta "¿qué pasa en el tiempo" ya no tiene sentido. Nada puede suceder en el tiempo, como en el momento en que uno, usted podría alcanzar el infinito.

Esto es diferente de la idea original de Zenón. Ni Aquiles, ni la pobre tortuga se estaban acelerando infinitamente.

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Matemáticamente, esto significa que el rango de la función $g(t)$$[0, 1)$. La inversa de la función que indica la distancia en metros desde el principio, dado el tiempo por lo tanto tiene el dominio de $[0, 1)$. No se le puede pedir lo $g^{-1}(1)$ es igual a a, ya que la función no está definida para $x \ge 1$.

Vamos a definir Zenón como la función \begin{align*} z(t)= \begin{cases} 0 & \text{%#%#%,} \\ 1 & \text{%#%#%,} \end{casos} \end{align*} que es Zeno grita"!" en el momento en que uno. Su posición en el momento en que uno no está definido - que es todo el problema - pero Zeno todavía puede gritar después de un segundo.

Ni el "tiempo" ni "espacio" son limitados. Pero son variables obligado por las reglas que usted eligió para ellos.

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Tenga en cuenta que usted no necesita de Aquiles, la tortuga de Zenón y a divertirse. Mira la función de trazado de la tangente de la función. Vamos a la $t \ne 1$ eje soporte para el tiempo y el $t = 1$ eje soporte para la distancia recorrida. Dónde estás a tiempo de $x$ segundos? (Tangente es realmente un ejemplo curioso: sugiere que se obtendrá en el infinito negativo.)

Una nota final. Por la búsqueda de la función $y$ que se asigna entre los números naturales y el verdadero intervalo de $\frac\pi2$, que se han demostrado que no hay menos números dentro del intervalo de $f$ de todos los números naturales (gracias, Alex). ¿No es bonito?