Soporte de Poisson en relatividad general y peso tensorial.

Question

Estoy un poco confundido sobre el tensor de densidad peso de los corchetes de Poisson en la relatividad general y su covarianza. Es tal vez relacionado con ser claro en cuanto a lo que sucede cuando puedo integrar un escalar densidad de algunos de peso distinto de 1. Digamos que tengo el corchete de Poisson de la Relatividad General en el 3+1 ADM formalismo actuando en algunos de los locales escalares $f(x)$ en un espacio-tiempo de la rebanada y algunos escalares cantidad $G$. ($G$ podría ser el de Hamilton, y $f(x)$ podría ser un escalar, pero también podría ser un escalar densidad, e.g .$\sqrt{g}$ el que cambia las cosas, pero no la esencia de lo que yo estoy pidiendo). El corchete de Poisson es dada por \begin{align} \{f(x),G\}&=\int d^3y \Big[ \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(y)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(y)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(y)}\Big] \\ &\stackrel{?}{=} \frac{\delta f(x)} {\delta g_{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi^{ab}(x)} - \frac{\delta f(x)} {\delta \pi^{ab}(x)}\frac{\delta G}{\delta g_{ab}(x)} \end{align} con $g_{ab}$ 3 métrica y el uso de la convención de tomar su conjugado momenta $\pi^{ab}$ un tensor densidad de peso (desde que se derivan de la densidad Lagrangiana). 2 preguntas: La primera es que el tensor de peso de la primera expresión parece ser -2 (además de lo que viene con $f$, ya que tengo los $d^3y$ sobre la parte superior y el $\delta \pi^{ab}$ en la parte inferior. Desde el lado izquierdo es generalmente algo como $\partial_tf(x)$, yo hubiera esperado a tener un tensor de peso de 1. Y esta expresión no parece que le dará diffeomorphism invariancia, aunque reconozco que debe (supongo que uno necesita considerar cómo la 3-variedad se encuentra en el 4-colector para esto).

Hay una cierta discusión de la invariancia de las propiedades de la distribución de Poisson soporte aquí: los corchetes de Poisson en la curva el espacio-tiempo, pero no me resulta particularmente esclarecedor. Alguien tiene una explicación sencilla?

Answer 1

1. Esto no está limitado a GR. Más en general, dado un $(r,s)$ campo tensorial $\phi(x)$, el conjugado impulso campo $\pi(x)$ es $(s,r)$ tensor de densidad de campo. Ver también esta relacionada con Phys.SE post$^1$.

2. Dadas dos escalares local funcionales de la forma $$ F =~ \int d^3x~\rho(x)~f(x)\qquad\text{and}\qquad G =~ \int d^3x~\rho(x)~g(x),\tag{A}$$ donde $\rho(x)$ es un campo de densidad y $f(x),g(x)$ son campos escalares, entonces los funcionales derivados de la$^2$ $$\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) f(x)]}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\tag{B}$$ y $$ \frac{\delta G}{\delta\pi(x)}~=~\frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\parcial \pi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial [\rho(x) g(x)]}{\partial [\partial_i\pi(x)]}+\ldots \etiqueta{C}$$ son un $(s,r)$ tensor de densidad de campo y un $(r,s)$ tensor de campo, respectivamente. Por lo tanto, la canónica de Poisson soporte $$\{ F,G\}~=~ \int d^3x~\left(\frac{\delta F}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta F}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\right)\tag{D}$$ es de nuevo un escalar funcional local.

3. En particular,$^3$ $$\begin{align} \{ f(x),G\}&=~ \int d^3y~\left(\frac{\delta f(x)}{\delta\phi(y)}\frac{\delta G}{\delta\pi(y)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(y)}\right)\cr &=~ \frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}\frac{\delta G}{\delta\pi(x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta\pi(x)}\frac{\delta G}{\delta\phi(x)}\end{align} \etiqueta{E}$$ en términos de 'mismo espacio-funcional de los derivados $$ \frac{\delta f(x)}{\delta\phi(x)}~:=~ \frac{\partial f(x)}{\parcial \phi(x)} -\frac{d}{dx^i} \frac{\partial f(x)}{\partial [\partial_i\phi(x)]}+\ldots\etiqueta{F} ,$$ cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.

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$^1$ Si $\phi(x)$ es un tensor de densidad de campo, entonces el conjugado de impulso de campo $\pi(x)$ es un campo tensorial, es decir, luego se invierten los roles.

$^2$ Los puntos suspensivos $\ldots$ indica los posibles términos de orden superior en el espacio-derivados.

$^3$ En esta respuesta podemos utilizar la convención de que la delta de Dirac distribución $\delta^3 (x,y)$ es la densidad de valor $$\int d^3y~\delta^3 (x,y) f(y)~=~f(x). \tag{G}$$ Por otra parte, utilizamos la convención que $$ \frac{\delta\phi(x)}{\delta\phi(y)}~=~\delta^3(x,y) \tag{H} .$$