Convergencia de integrales: si $g_n\ge 0$ y $\int_a^b g_n\to 0$ y $\int_a^b fg_n\to 0$

Question

Supongamos que $g_n \geqslant 0$ es una secuencia de funciones integrables que satisface $\lim\limits_{n \to \infty} \int_a^b g_n(x) \mathrm{d} x = 0$.

a) Mostrar que si $f$ es una función integrable en $[a,b]$,$\lim_{n\to \infty} \int_a^b f(x) g_n(x) \mathrm{d}x = 0$.

b) Probar que si $f$ es integrable en a$[0,1]$,$\lim_{n\to \infty} \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{d}x = 0$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora; Estamos dado que el$g_n \geqslant 0$,$\lim_{n\to\infty}\int^b_ag_n(x)=0$. También tenemos que $f$ es integrable en a $[a,b]$. Entonces, por la forma general del Valor medio Teorema para las Integrales (que ya he demostrado en otro problema), sabemos $\exists c\in[a,b]$ tal que $\int^b_af(x)g_n(x)dx=f(c)\int^b_ag_n(x)dx$. Así tenemos: $$\lim_{n\to\infty}\int^b_af(x)g_n(x)dx\Rightarrow \lim_{n\to\infty}f(c)\int^b_ag_n(x)dx\Rightarrow f(c)\lim_{n\to\infty}\int^b_ag_n(x)\Rightarrow f(c)⋅0=0. $$ (b) Nos da que $f$ es integrable en a $[0,1]$. Deje $g_n(x)=x^n$. Nuestro reclamo es que $$g_n(x)\to g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0&,&x\ne1\\1&,&x=1\end{array}\right.$$ en $[0,1]$. A continuación, vamos a $x_0\in [0,1)$. A continuación,$\lim_{n\to\infty}x^n_0=0$. Por lo tanto $g_n(x)\to g(x)$ pointwise en $[0,1]$. Más $\lim_{n\to\infty}\int^b_ag_n(x)=\int^b_ag(x)=0$. Por lo tanto, por (a), tenemos que $\lim_{n\to\infty}\int^b_ax^nf(x)dx=0$.

Es esto correcto?

Answer 1

Para la parte (a), su respuesta tiene un error. Sólo puede aplicar el teorema del valor medio para integrales si $f$ es continua. Hubiera sugerido usando la desigualdad de Cauchy, pero $f$ no es necesariamente en $L^2$. Mira tal vez funciones simples.

Su respuesta a (b) es esencialmente correcta, pero debe justificar el límite dentro de la muestra integral en movimiento. O simplemente calcular las integrales de $g_n$ directamente.

Answer 2

La declaración de (a) es incorrecta, usted puede dejar $$ g_ {n} (x) =\begin{cases} \frac{1}{n\sqrt{x}} & x\in(0,1]\ 0 & x=0 \end{casos} $ y $f(x)=g_1(x)$. Entonces $\int_0^1g_n(x)dx=\frac{2}{n}\rightarrow 0$ $n\rightarrow\infty$ y $$\int_0^1 f(x)g_n(x)dx=\infty $ $ % los $n\in\mathbb{N}$.