Prueba sucinta: Todos los pentágonos tienen forma de estrella

Question

Pregunta: ¿Cuál es una prueba sucinta de que todos los pentágonos tienen forma de estrella?

En caso de que el término en forma de estrella (o estrella convexa ) es desconocido u olvidado:

Recordatorio de la definición: Un subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^n$ es en forma de estrella si existe un $x \in X$ tal que el segmento de línea desde $x$ a cualquier punto de $X$ está contenida en $X$ .

Este tema ha surgido en el pasado en mis discusiones de clase en torno a las sumas de ángulos interiores; específicamente, para los polígonos en forma de estrella en $\mathbb{R}^2$ podemos encontrar su suma de ángulos interiores de la siguiente manera:

Por supuesto, existe un punto interior $x$ que pueden conectarse a cada uno de los $n$ vértices. Dibujando en estos segmentos de línea, construimos $n$ triángulos; la suma de todos sus ángulos interiores da un total de $180n^\circ$ pero esto sobrecontabiliza la suma de ángulos para el polígono por el $360^\circ$ alrededor de $x$ . Por lo tanto, la suma de los ángulos interiores es $(180n - 360)^\circ = 180(n-2)^\circ$ .

Esta fórmula para la suma de los ángulos interiores es válida de forma más general (a menudo se muestra mediante la triangulación de polígonos), pero la estrategia de prueba arriba ya falla para algunos hexágonos (obviamente cóncavos).

Por ejemplo:

El polígono representado arriba es no con forma de estrella.

Además, es un hecho que cualquier polígono con cinco o menos lados tiene forma de estrella. Y así vuelvo a pegar:

Pregunta: ¿Cuál es una prueba sucinta de que todos los pentágonos tienen forma de estrella?

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Editar: Ya que ha surgido como un contraejemplo (de tipo) para cada una de las dos primeras respuestas, aquí hay un ejemplo de un pentágono cóncavo que puede valer la pena examinar al pensar en una prueba.

Answer 1

(Un término quizás más común que estrella convexa es en forma de estrella .)

Asumo que ves el pentágono como un conjunto cerrado, incluyendo su frontera, de modo que la línea de visión desde $x$ puede tocar el límite y seguir siendo "contenido".

He aquí una prueba, tal vez no lo suficientemente sucinta para sus propósitos. Defina una vértice reflejo como aquella en la que el ángulo interno supera $180^\circ$ . Los otros son vértices convexos .

(1) Todo polígono debe tener al menos tres vértices convexos. Tomemos esto como un hecho.

(2) Por lo tanto, un pentágono $P$ puede tener como máximo dos vértices reflejos.

(3) Si $P$ no tiene vértices reflejos, $P$ es convexo y fácilmente tiene forma de estrella.

(4) Si $P$ tiene un vértice reflejo $v$ entonces $P$ es visible desde $v$ y en forma de estrella.

(5) Si $P$ tiene dos vértices reflejos, son adyacentes o no. Si adyacentes, entonces $P$ es visible desde el vértice convexo central $v$ y en forma de estrella.

(6) Si $P$ tiene dos vértices reflejos no adyacentes, entonces sea $a,b,c$ sea tres vértices consecutivos, con $a,c$ reflejo y $b$ entre ellos convexo. Prolongar las aristas $ba$ y $bc$ hasta llegar al lado opuesto. Entonces cualquier punto $x$ en ese borde entre las extensiones puede ver todo $P$ :

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Answer 2

• Suponiendo que (?!) que todo polígono tiene al menos un vértice "convexo", dejemos $P$ tal vértice. $P$ "ve" a sus dos vecinos. Si $P$ también "ve" un tercer vértice, $Q$ y luego conectarlos con un segmento; en caso contrario, conectar $P$ con un segmento, y renombrar esos vecinos $P$ y $Q$ . De cualquier manera, diagonal $\overline{PQ}$ separa el interior del polígono, y sirve como un lado de cada pieza: un triángulo y un cuadrilátero.

• Repitiendo el procedimiento anterior sobre el cuadrilátero, concluimos que una de sus diagonales separa su interior (esta vez, en dos triángulos). Necesariamente, uno de los extremos de esa diagonal es $P$ o $Q$ . Diremos que es $P$ .

• Por lo tanto, $P$ es un vértice de los tres subtriángulos, y puede "ver" todos los puntos de cada uno de esos triángulos (porque los triángulos son así de chulos), lo que significa que puede "ver" todos los puntos del pentágono original. $\square$

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Nota. Por supuesto, nunca debes asume . Un triángulo con aristas en un hemisferio de un globo, pero con un "interior" que contiene el otro hemisferio, no tiene ningún vértice "convexo". Por lo tanto, esta solución es defectuosa desde su primera palabra. La superación del defecto se deja como ejercicio para el lector.

Answer 3

Esto llega con varios años de retraso, pero creo que tengo una prueba más bonita. Pensé en publicarla.

Creemos que podemos triangular el 5-gon en tres triángulos. Obsérvese que estos tres triángulos deben tener un vértice $v$ en común: Para ver esto, quite uno de los triángulos $T$ es decir, que nos queda un 4-gon. Entonces, sea cual sea la forma en que triangulemos el 4-gon, cada arista contendrá un vértice de sus dos triángulos. En particular, la arista conjunta de $T$ y el 4-gon tendrá un vértice tal $v$ .

Entonces $v$ ve los tres triángulos y por lo tanto todo el 5-gon.

Answer 4

Un polígono debe tener al menos tres vértices convexos (ya que cada vértice convexo gira por menos de $\pi$ y en total los vértices deben girar por $2\pi$ ). Por tanto, hay al menos un vértice que está entre dos vértices convexos. Este vértice ve los otros cuatro vértices y, por tanto, todo el pentágono.