$\lim_{n\to \infty}[\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{a_{n-1}a_{n}}].$

Question

Que $a{1}=1$ y $a{n}=a{n-1}+4$ $n\geq 2.$ tengo que encontrar $\lim{n\to \infty}[\frac{1}{a{1}a{2}}+\frac{1}{a{2}a{3}}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{a{n}a{n-1}}].$ lo probé como

$\lim{n\to \infty}[\frac{1}{a{1}a{2}}+\frac{1}{a{2}a{3}}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{a{n}a{n}}]=\lim{n\to \infty}[\frac{1}{a{1}[a{1}+4]}+\frac{1}{a{2}[a{2}+4]}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{a{n-1}[a{n-1}+4]}]=\frac{1}{4}\lim{n\to\infty}[\sum \frac{1}{a{n}}-\sum \frac{1}{a_{n}+4}].$

Ahora por favor me ayude a solucionar el problema. Gracias.

Answer 1

\begin{eqnarray}E(n)=\frac{1}{a{1}a{2}}+\frac{1}{a{2}a{3}}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{a{n}a{n-1}}& =&{1\over 4}\Big(\frac{a_2-a_1}{a_1a_2}+\frac{a_3-a2}{a{2}a{3}}\cdot\cdot\cdot\frac{a{n+1-an}}{a{n}a_{n-1}}\Big)\ & =&{1\over 4}\Big(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}\cdot\cdot\cdot\frac{1}{an}-\frac{1}{a{n+1}}\Big)\ & =&{1\over 4}\Big(\frac{1}{a1}-\frac{1}{a{n+1}}\Big)\ \end{eqnarray}

desde $a_n\to \infty$ tenemos %#% $ #%