Hamiltoniano, relacionados con la función zeta de Riemann

Question

usando el eigenvstates del oscilador armónico podríamos damos un significado a la hamiltoniana

$$ H=\log(a.a^{+}+1) $$

aquí $ a$ y $ a^{+}$ son los operadores de creación/aniquilación con las reglas de conmutación $ [a,a^{+}]=1$ las energías de la hamiltoniana $$ E_{n}=\log(n+1) $$ for $ n\ge 0$. La idea es que la función de partición del sistema con energías discretas la función zeta de Riemann

$$ Z(s)= \sum{n\ge 0 }e^{-sE{n}}=\zeta(s)$$ with $ s = $ 1/kt.

Answer 1

Ese sistema se llama gas Primon (Wikipedia).

Riemann Función zeta también aparece en otro contexto de la teoría de campos, consulte esta tabla (nLab).

Además, el uso de $a$ y $a^\dagger$ aparecen volteado.

Answer 2

Si usted está pidiendo, como se sugiere en los comentarios, si es posible definir rigurosamente $\ln (N+1)$ donde $N$ es el uno mismo-adjoint número de operador, entonces la respuesta es sí.

El teorema espectral permite definir la función de $f(A)$, de un sí mismo-adjoint operador $A$, mientras $f$ es medible respecto de la espectral medida de $A$ (y este es el caso).

De todos modos, esta no es la única conexión entre el bosonic segunda cuantización y la teoría de números (por ejemplo, los números primos puede estar relacionado con el espectro de ciertos adecuado operadores asociados con la segunda cuantización).