¿Cómo se obtiene el álgebra de simetría?

Question

Haciendo una transformación de coordenadas infinitesimal $x^\mu$ --> $x^\mu + \epsilon^\mu$ correspondiente a una simetría de una teoría dada, se puede obtener la ecuación de Killing y por tanto obtener el vector de Killing $\epsilon = \epsilon^\mu\partial_\mu$ . Por ejemplo, para el grupo de simetría conforme los vectores de Killing son

\begin{align} & m_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \,, \\ &p_\mu \equiv-i\partial_\mu \,, \\ &d \equiv-ix_\mu\partial^\mu \,, \\ &k_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \,. \end{align}

Ahora, cada transformación de simetría conduce a una carga conservada y satisfacen un álgebra. Para el grupo conforme, el álgebra de cargas conservadas es

\begin{align} &[D,K_\mu]=-iK_\mu \,, \\ &[D,P_\mu]=iP_\mu \,, \\ &[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu} \,, \\ &[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\ &[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\ &[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}

Para obtener el álgebra anterior, basta con considerar los vectores de Killing como cargas y encontrar las relaciones de conmutación. Pero, sé que este método no funciona siempre ya que, por ejemplo, en la CFT 2D, el álgebra de los vectores de Killing es el álgebra de Witt, mientras que las cargas satisfacen el álgebra de Virasoro y esta última difiere de la primera por una extensión central.

Así que mi pregunta es, ¿cuándo falla el método de encontrar el álgebra de cargas tomando sólo el conmutador del vector de Killing?

Answer 1

Bueno, la cuestión es que las simetrías de Killing sólo afectan a la geometría. En cambio, las cargas se refieren al peculiar sistema físico (clásico o cuántico) que estás considerando, que contiene mucha más información también y especialmente de naturaleza no geométrica. Ya en la formulación hamiltoniana clásica hay espacio para las cargas centrales cuando representas el álgebra de Lie de las simetrías de Killing utilizando el paréntesis de Lie $[\cdot, \cdot]_L$ en términos de un álgebra de Lie de cargas hamiltonianas con paréntesis de Lie dados por el corchete de Poisson $\{\cdot, \cdot\}$ .

Por un lado tienes cargas físicas $Q$ obtenido por una teoría específica (hamiltoniana), por otro lado se tienen campos de Killing geométricos fijos $X$ independiente del sistema físico porque es común a todos los sistemas físicos.

Lo que dice la teoría es que

(a) existe un lineal mapa $Q \to X_Q$ , satisfaciendo $$[X_Q,X_{Q'}]_L= X_{\{Q,Q'\}}\:.\tag{1}$$ Sin embargo,

(b) el mapa no es inyectivo, ya que $$X_Q = X_{Q+c}\tag{2}$$ por cada constante $c$ .

Si $X_{Q_k}$ , $k=1,\ldots, n$ es una base del álgebra de Lie de las simetrías de Killing, $$[X_{Q_i},X_{Q_j}]_L = C_{ij}^k X_{Q_k}= X_{C_{ij}^kQ_k}$$ donde he utilizado la convención de sumar sobre índices repetidos. Comparando con (1) $$X_{C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\}}=0$$ Sin embargo (2) implica que puede haber constantes antisimétricas $c_{ij}$ El famoso cargos centrales tal que $$C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\} = -c_{ij}$$ y por lo tanto $$ \{Q_i,Q_j\} = C_{ij}^kQ_k + c_{ij}$$ Si el álgebra de Lie satisface alguna condición cohomológica, es posible redefinir las cargas mediante constantes añadidas, $$Q_{k} \to Q_k' = Q_k + f_k$$ para que por un lado los campos de Killing asociados permanezcan fijos, por otro lado $$ \{Q'_i,Q'_j\} = C_{ij}^kQ'_k$$ (Basta con que $C_{ij}^k f_k= c_{ij}$ ).

La imagen a nivel cuántico es esencialmente idéntica, simplemente sustituyendo las cargas por operadores al menos (anti)simétricos definidos en un dominio denso común y el paréntesis de Poisson se sustituye por el conmutador de operadores (hay muchas sutilezas aquí al tratar de elevar la representación del álgebra a una representación unitaria del grupo de simetría, pero no insisto en ellas ahora). De nuevo pueden aparecer cargas centrales porque la cuantización se refiere a las cargas hamiltonianas y no al grupo de Lie de las isometrías de Killing.

Por lo general, las cargas centrales llevan cierta información física que la geometría no puede abarcar porque no puede distinguir entre los distintos sistemas físicos que viven en el mismo fondo. El ejemplo típico es la masa del sistema con respecto al Simetría galileana .

Uno de los subgrupos de un parámetro del grupo de Lie de Galileo es el impulso que cambia las velocidades de cada parte del sistema añadiendo una velocidad común. Sin embargo, en la formulación hamiltoniana/cuántica, las variables son las posiciones y el momento y el momento se relaciona con la velocidad mediante la masa $m$ . Esto es diferente para diferentes sistemas y no es seleccionado por la geometría. El punto donde se produce esta información no geométrica es sólo una carga central.

$$\{K_i,P_j\}= m\delta_{ij}\:,$$

$K_i$ siendo el generador de la transformación boost a lo largo de la $i$ -eje, para ser comparado con el correspondiente geométrico

$$[X_{K_i},X_{P_j}]_L= 0\:.$$

La versión cuántica se ve afectada por la misma carga central cuya naturaleza, sin embargo, está clara.