Representación de los teoremas para grupos

Question

Hay dos desconcertante representación teoremas para grupos:

• Cada grupo es isomorfo a la automorphism grupo de unos gráfica. (ver Frucht del teorema)

• Cada grupo es isomorfo al grupo fundamental de algunos topológica del espacio.

Tengo dos preguntas:

1. Existe un "profundo" de la conexión entre estos dos teoremas?

2. Hay más ejemplos de este tipo de representación teoremas para grupos?

Answer 1

Ninguno de los teoremas de mencionar que en realidad es particularmente profunda. La conexión entre ellos es la idea de un grafo de Cayley.

Recordemos que, si $G$ es cualquier grupo y $S$ es un grupo electrógeno $G$, el Grafo de Cayley $\Gamma(G,S)$ se define como sigue:

• $\Gamma(G,S)$ tiene un vértice para cada elemento de la $G$.

• Dos vértices $g_1,g_2\in G$ están conectados por una arista en el grafo de Cayley si $g_1 = g_2s$ (o $g_2 = g_1s$) para algunos $s\in S$.

Por ejemplo, el grafo de Cayley de a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ con respecto a la generación de set $\{(1,0),(0,1)\}$ es un infinito de cuadrícula rectangular.

Ahora, una de las más importantes propiedades del grafo de Cayley es que el grupo $G$ actúa en $\Gamma(G,S)$ por automorfismos. Esta es la "acción izquierda": si $g\in G$, $g$ se asigna a cada vértice $g'$$gg'$, y los mapas de cada arista $(g',g's)$$(gg',gg's)$. Por ejemplo, $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ actúa en la infinita red de traducciones, con $(1,0)$ correspondiente a la horizontal de la traducción, y $(0,1)$ correspondiente a una vertical de las traducciones.

Por supuesto, no es cierto en general que $G$ es el total automorphism grupo del grafo de Cayley. Por ejemplo, hay más de automorfismos de un infinito de cuadrícula que sólo las traducciones (por ejemplo, reflexiones y rotaciones). Esto es debido a que el grafo de Cayley en realidad tiene más estructura que sólo un gráfico. Específicamente, el grafo de Cayley es una etiqueta, en forma de grafo dirigido: cada arista $(g,gs)$ puede ser dirigida a punto de$g$$gs$, y pueden ser marcadas por el generador de $s$. Lo que es cierto es que $G$ es el grupo completo de la etiqueta y de la dirección de la preservación de automorfismos del grafo de Cayley.

Para el primer teorema que usted menciona (Frucht del Teorema), todo lo que se requiere es modificar el grafo de Cayley de tal manera que las instrucciones y las etiquetas de convertirse en parte de la gráfica. Por ejemplo, podríamos sustituir cada borde horizontal de una cuadrícula en un cierto patrón de las aristas que de alguna manera los puntos de "derecho", y cada borde vertical por un patrón diferente de las aristas que de alguna manera los puntos de "arriba". En este caso, el gráfico resultante tendrá automorphism grupo $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$. Obtener los detalles de este trabajo, en general es un poco desordenado, pero no hay nada profundo acerca de ella—sólo tenemos que encontrar a cualquier esquema viable para codificar una dirigida, con la etiqueta gráfico de un gráfico.

El segundo teorema de mencionar que también está relacionado con grafos de Cayley, pero de una manera indirecta. Aquí es el procedimiento estándar para la producción de un espacio cuyo grupo fundamental es un grupo dado,$G$:

1. Empiece por encontrar una presentación para $G$, con la generación de set $S$ y de las relaciones de $R$.

2. Hacer que una célula compleja $X$ con un solo vértice $v$, un bucle en $v$ para cada generador, y una 2-celda para cada relación. A continuación,$\pi_1(X)\cong G$. (El espacio de $X$ a veces se llama una presentación compleja para $G$.)

Por ejemplo, una presentación para $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ es: $$ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \;\cong\; \langle r,s \mediados de rsr^{-1}s^{-1}=1\rangle $$ Aquí $r=(1,0)$$s=(0,1)$, y la relación dice que tiene que desplazarse. El complejo resultante tiene un solo vértice $v$, dos bucles en $v$ (uno por $r$ y uno para $s$), y una sola 2-celda adjunta a lo largo de la ruta de $rsr^{-1}s^{-1}$. Este es un toro, cuyo grupo fundamental es isomorfo a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

Ahora, aquí está la conexión con los grafos de Cayley: la universalización de la cobertura de la compleja $X$ es una célula compleja cuyo 1-esqueleto es el grafo de Cayley de a $G$! Por ejemplo, la universalización de la cobertura del toro descrito anteriormente es una estructura celular en el avión cuyo 1-esqueleto es un infinito de cuadrícula.

Dicho de otra forma, una de Cayley complejo para un grupo de $G$ es una célula compleja cuyas $1$-esqueleto es un grafo de Cayley, pero que ha $2$-células cose a lo largo de cada una de las relaciones. (Por ejemplo, el de Cayley complejo para $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es la estructura de la célula en el plano cuyas $1$-esqueleto es un infinito de cuadrícula.) Tenga en cuenta que el $2$-células "rellenar los huecos" de la Cayley gráfico, por lo que el espacio resultante es simplemente conectado. Entonces la acción de la $G$ sobre el grafo de Cayley se extiende a una acción de $G$ sobre el Cayley complejo, y el cociente de la Cayley complejo de esta acción es el espacio con el grupo fundamental de la $G$ descrito anteriormente.

De hecho, usted incluso no necesita saber una presentación para $G$ de antemano para llevar a cabo esta construcción. Comenzando con el grafo de Cayley, usted puede adjuntar a las familias de $2$-de las células en una equivariant camino hasta el complejo resultante es simplemente conectado. Una vez que haya terminado, el cociente de este complejo por la acción de la $G$ tendrá grupo fundamental de la $G$. (Esta es una buena manera de descubrir una presentación para un grupo—sólo tiene que añadir a las familias de las 2-las células para el grafo de Cayley hasta que usted consigue algo que simplemente conectado y, a continuación, cada familia agregó corresponden a una relación.)

Editar: Por el camino, tan lejos como representaciones de teoremas para grupos, uno de mis favoritos es que cada finitely-presentado el grupo es el grupo fundamental de algunos de los $4$-colector. Ver este MathOverflow pregunta para algunas pruebas simples.

Otro es el hecho de que cada grupo es el grupo fundamental de un espacio en el que la universalización de la cobertura es contráctiles. Estos son los llamados Eilenberg-MacLane espacios, y la construcción es similar a la construcción de la presentación compleja dada anteriormente, salvo que usted también tiene que agregar $3$-de las células, y, a continuación, $4$- de las células, y así sucesivamente para el Cayley complejo, hasta que no tiene "agujeros" a la izquierda de cualquier tipo. Estos espacios son muy importantes en la topología algebraica, porque resultan ser una incrustación de la categoría de grupos y homomorphisms en el homotopy categoría. La homología y la cohomology de estos espacios conduce a la homología y la cohomology de grupos

Answer 2

A la 2ª pregunta:

Cada grupo es isomorfo a un automorphism grupo de algunos (universal) álgebra (G. Grätzer, Álgebra Universal, Chapt.1, §12, Cor.1).