Grado de un % de la extensión de campo $K/\mathbb{Q}$

Question

Decir que tenemos un un % polinomio irreducible $f \in \mathbb{Q}[x]$cuyas raíces no son reales y $K$ un campo división $f$ $\mathbb{Q}$. ¿Por qué es el grado del campo extensión $[K : \mathbb{Q}]$ necesariamente?

No estoy seguro del enfoque correcto en esta dirección. ¡Probablemente estoy perdiendo algo obvio, pero no se puede averiguar!

Answer 1

$K$ incrusta en los números complejos, pero no en los números verdaderos. Aplicar complejo verbal a esta inclusión así da un no trivial automorphism con orden $2$, por lo que $2$ divide la orden del grupo de Galois.