Comparación de ecuaciones no lineales (oscillon)

Question

De lagrange para un esféricamente simétrico, real escalar campo en d dimensiones espaciales, $$L=c_d \int r^{d-1}dr\left[ \frac{1}{2} \dot\phi^2 - \frac{1}{2} \left(\frac{\partial \phi}{\partial r} \right)^2 -V(\phi)\right] \tag{1}$$ donde $$v= m^2\phi^2$$, $$c_d = 2π^{d/2} /Γ(d/2)$$ es la unidad- esfera de volumen en d dimensiones. La solución de $\phi$ es, $$\phi(r,t) = A(t)P(r,r)= A(t)e^{\frac {r^2} {R2}}\etiqueta{2}$$

Mediante la aplicación de estas condiciones, el autor en el artículo ecuaciones 11,14 muestra cómo oscillons formado , pero Si yo escribo un oscillon ecuación a partir de la ecuación 5 del artículo $$\phi= \sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon^k \phi_k \tag{3}$$ , ¿cuál es la diferencia fundamental entre las dos ecuaciones no lineales para \phi. Podemos obtener la solución de (3) de la ecuación (2)?

Answer 1

Vamos

$$ \mathcal{A}(\phi) = \frac{2 \pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)} \int_0^T \left\{\int_0^\infty \left(\frac{1}{2}\dot{\phi}^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial r}\right)^2 m^2\phi^2 \right)r^{d-1} dr \right\}dt $$

Ahora $$ \mathcal{A}(\phi + h) = c_d \int_0^T \left\{\int_0^\infty \left(\frac{1}{2}\left(\dot{\phi} + \dot{h}\right)^2 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{\partial h}{\partial r}\right)^2 m^2(\phi+h)^2 \right)r^{d-1} dr \right\}dt $$

Entonces $$ \mathcal{A}(\phi + h) = \mathcal{A}(\phi) + c_d \int_0^T \left\{\int_0^\infty \left(\dot{\phi}\dot{h} - \frac{\partial \phi}{\partial r} \frac{\partial h}{\partial r} - 2m^2 \phi h\right)r^{d-1}dr\right\}dt + O\left(\|h\|^2\right), $$ donde usted ha tomado la correspondiente norma.

La integración por partes, \begin{multline} \mathcal{A}(\phi + h) - \mathcal{A}(\phi) = c_d \int_0^T \left\{\int_0^\infty \left(-\ddot{\phi} + \frac{1}{r^{d-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{d-1} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) - 2m^2\phi\right)hr^{d-1}dr\right\}dt \\ + \mbox{ BT } + O\left(\|h^2\|\right), \end{multline} donde BT es el límite de términos. El término lineal (en $h$) de la derecha se llama la Frechet Derivado $D\left(\mathcal{A}\right)h$, y tiene que ser cero para tener un punto crítico para la acción $\mathcal{A}$. Por lo tanto

$$ \phi_{tt} - \frac{1}{r^{d-1}}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^{d-1} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + 2m^2 \phi = 0. $$

Este es un lineal de la ecuación. En el artículo de la ecuación (3) se utiliza, en lugar de $V(\phi) = m^2 \phi^2$, un arbitrario $V(\phi)$ es utilizado. Esto modifica la Frechet derivados, para terminar con el PDE

$$ \phi_{tt} - \frac{1}{r^{d-1}}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^{d-1} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + \frac{\partial V(\phi)}{\parcial \phi} = 0. $$

Si usted toma $$ \phi = \sum_{k=1}^\infty \epsilon^k \phi_k, $$ entonces $$ \frac{\partial V(\phi)}{\parcial \phi} = V'(0) + \epsilon \phi_1 V"(0) + \epsilon^2\left(\phi_2 V"(0) + \frac{1}{2}\phi_1^2 V"'(0)\right) + O(\epsilon^3), $$ y $$ V'(0) + \epsilon \left({\phi_1}_{tt} - \frac{1}{r^{d-1}}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^{d-1} \frac{\partial \phi_1}{\partial r}\right) + V"(0) \phi_1\right) + O(\epsilon^2) = 0. $$ Tenga en cuenta que para el potencial $V= \frac{1}{8}\phi^2(\phi-2)^2$, $V'(0) = 0$ (por lo tanto, no hay inconsistencias en la elección de $\phi$), y el líder de plazo $\phi_1$ resuelve el PDE $$ {\phi_1}_{tt} - \frac{1}{r^{d-1}}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^{d-1} \frac{\partial \phi_1}{\partial r}\right) + \phi_1 = 0. $$

Este es el mismo PDE como los lineales de la dinámica de uno.