Dada una subvariedad propia $V\subseteq G_m^n$ (V también es un subgrupo). ¿Podemos encontrar siempre un carácter $\chi:G_m^n\to G_m$ que es un morfismo y un homomorfismo de grupo tal que $V\subseteq \ker\chi$ ?
Respuesta
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Asumiré que $G_m$ denota el grupo multiplicativo sobre algún campo bonito, en mi mente es algebraicamente cerrado de característica cero. En este caso, lo que preguntas es cierto. De hecho, es una propiedad de los grupos diagonalizables. Se obtiene lo siguiente de, por ejemplo, el corolario 22.5.4 en el muy buen libro " Álgebras de Lie y grupos algebraicos "de Tauvel & Yu:
Teorema . Dejemos que $H$ sea un subgrupo cerrado de $G_m^n$ . Entonces:
- $H$ es diagonalizable
- Existen personajes $\chi_1,\ldots,\chi_n\in \mathbb{X}(G_m^n)$ s.t. $H=\ker\chi_1\cap\cdots\cap\ker\chi_n$ .
- Si $\theta\in\mathbb{X}(H)$ es un carácter de $H$ , entonces hay un $\chi\in\mathbb{X}(G_m^n)$ tal que $\chi|_H=\theta$ .
Como corolario se obtiene lo que se quiere.
