Base formada por funciones hiperbólicas

Question

Actualmente estoy trabajando con la separación de variables para los diferentes tipos de ecuaciones en derivadas parciales y a menudo se utiliza aquí el hecho de que uno tenga el seno de la base, es decir,

$$ \left( \sin(k\pi y) \right)_{k=1}^{\infty} $$

constituye una base de $L^2(0,1)$. Esto también se mantiene en nivel discreto, es decir, tener vector $v_k \in \mathbb{R}^{n-1}$ entrada definida por el sabio como

$$ v_k = \left( \sin(\frac{k\pi}{n} j) \right)_{j=1}^{n-1} $$

entonces el conjunto $\{v_k\}_{k=1}^{n-1}$ es la base de la $\mathbb{R}^{n-1}$.

Sin embargo, en algunos casos, sería mucho más conveniente el uso de las funciones hiperbólicas - en este caso el seno hiperbólico. Mi pregunta es si o no el analógico tiene hiperbólico sines así, es decir,

(A) Es el $\left( \sinh(k\pi y) \right)_{k=1}^{\infty}$ base de un razonable espacio de Lebesgue en $(0,1)$?

(B) vector de $w_k \in \mathbb{R}^{n-1}$ entrada definida por el sabio como $$ w_k = \left( \sinh(\frac{k\pi}{n} j) \right)_{j=1}^{n-1}, $$ es el conjunto $\{w_k\}_{k=1}^{n-1}$ base $\mathbb{R}^{n-1}$?

Actualización: Los cálculos sugieren que también los vectores $w_k$ formulario de una base, pero uno que es incresingly mal condicionado al $n$ crece. Para $n=100$, python calcula que la condición de número de la orden de $10^{130}$. Soy consciente de que en ese momento es imposible discutir con un resultado, por lo que la pregunta queda abierta. También, estoy interesado sólo en el uso teórico y no tengo la intención de utilizar esta base (si es que de hecho es uno en general) para computacional fines.

Answer 1

Para (B), la respuesta es afirmativa. En realidad el factor determinante es fácil de calcular. Vamos $$D(z_1,\ldots,z_n)=\det\{z_i^j-z_i^{-j} : 1\leqslant i,j\leqslant n\}$$ con un valor distinto de cero $z_1,\ldots,z_n\in\Bbb{C}$. Fix $z_1,\ldots,z_{n-1}$ , de modo que $1,z_1,\ldots,z_{n-1},-1,1/z_1,\ldots,1/z_{n-1}$ son todos los pares distintos. Tenemos $$D(z_1,\ldots,z_{n-1},z)=\sum_{k=1}^{n}a_k(z^k-z^{-k})=z^{-n}P(z)$$ (expansión de la última fila), donde $a_k$ ( $\pm$ menor tamaño de los determinantes) no dependen de $z$, y por lo tanto $P(z)$ es un polinomio de grado $2n$ con los principales coeficiente de $A=D(z_1,\ldots,z_{n-1})$. Además, $P(1)=P(-1)=0$ (fila de ceros) y $P(z_k)=P(1/z_k)=0$ para $0<k<n$ (igual filas). Esto demuestra que $P(z)=A(z^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-z_k)(z-1/z_k)$, y obtenemos $$D(z_1,\ldots,z_n)=\prod_{k=1}^{n}\left[\Big(z_k-\frac{1}{z_k}\Big)\prod_{r=1}^{k-1}\Big(z_k+\frac{1}{z_k}-z_r-\frac{1}{z_r}\Big)\right].$$ Como corolario, tenemos $$\det\{\sinh ijz : 1\leqslant i,j\leqslant n\}=2^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^{n}\Big(\sinh kz\prod_{r=1}^{k-1}(\cosh kz-\cosh rz)\Big).$$

Para (Un), el lineal útil de este sistema es denso en $L_2(0,1)$ (para una prueba, se puede demostrar primero que es denso en $\{f\in C([0,1]) : f(0)=0\}$; esto se puede hacer uso de alguna forma de la Piedra-teorema de Weierstrass). Por lo tanto, este sistema se convierte en una base de Hilbert $L_2(0,1)$ después de orthonormalization (el sistema en sí no no tienen esta propiedad - esto puede ser demostrado de manera similar para el caso del sistema de monomials - pero, por supuesto, sí, es una base de algunos de espacio ;).