¿En qué circunstancias es una función características Riemann integrable?

Question

Deje $E$ ser un subconjunto del intervalo [a,b]. Mi pregunta es, ¿bajo qué circunstancias es la función característica $1_E$ Riemannn integrable en $[a,b]$?

Ahora una función es Riemann integrable si y sólo si el conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue cero. Y el conjunto de discontinuidades de $1_E$ es igual al límite de $E$. Así que esto es equivalente a la pregunta, ¿bajo qué circunstancias lo hace el límite de un conjunto $E$ tienen medida cero? $E$ tener medida cero no es lo suficientemente fuerte como condición, debido a que un conjunto de medida cero podría tener un límite de medida positiva. Entonces, ¿qué condición no $E$ necesidad a satisfacer?

Y ¿cuál es el Sigma álgebra generada por conjuntos de Riemann integrable funciones características?

Answer 1

Este artículo responde a mi pregunta:

Una función de indicador de un conjunto acotado es Riemann-integrable si y sólo si el conjunto es medible Jordan.

No sé lo que es la prueba de aunque.

Answer 2

También permite considerar $X=\delta E$. Si este contiene un conjunto abierto, es obvio que no es integrable, desde su incontinuities contienen un conjunto abierto que contiene un intervalo, y por lo tanto tiene un positivo lebesque medida.

En la otra dirección, asumir la función característica no es Riemann integrable, es decir, su límite no tiene medida cero, y puesto que es cerrado, es en realidad medible! Por lo tanto, una generación medibles conjunto con el positivo de la medida está contenida en $X$. Pero los grupos electrógenos son precisamente los bloques abiertos!

También, los pls me perdone si me olvidé de algunas complejidades con la definición de la lebesque sigma álgebra. pasado algún tiempo desde que hice teoría de la medida.