Demostrar que $1+\frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{3\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 6 \cdot 9}+.........=\sqrt{3}$

Question

Demostrar que $$1+\frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{3\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 6 \cdot 9}+.........=\sqrt{3}$$

$\bf{My\; Try::}$ Usando el Binomio de expansión de $$(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{2}x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{6}x^3+.......$$

Así, obtenemos $$nx=\frac{1}{3}$$ and $$\frac{nx(nx+x)}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{6}$$

Llegamos $$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}+x\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}$$

Así, obtenemos $$n=\frac{1}{2}$$

Así, en nuestra serie la suma es $$(1-x)^{-n} = \left(1-\frac{2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

Aunque sé que este es el más simple prueba, podemos resolver de otra manera algo como la definición de $a_{n}$ y, a continuación, utilizar Telescópica suma.

Gracias.

Answer 1

Aquí está una variación para obtener el $\sqrt{3}$ basado en la generación de la función de la Central de los coeficientes binomiales \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}z^n=\frac{1}{\sqrt{1-4z}}\qquad\qquad |z|<\frac{1}{4} \end{align*}

Obtenemos

\begin{align*} 1&+\frac{1}{3}+\frac{1\cdot 3}{3\cdot 6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{3\cdot 6\cdot 9}+\cdots\\ &=1+\frac{1!!}{3^11!!}+\frac{3!!}{3^22!}+\frac{5!!}{3^33!}+\cdots\tag{1}\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{n!}\frac{1}{3^n}\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!(2n)!!}\frac{1}{3^n}\tag{2}\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}\frac{1}{6^n}\tag{3}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{1}{6^n}\\ &=\left.\frac{1}{\sqrt{1-4z}}\right|_{z=\frac{1}{6}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{3}}}\\ &=\sqrt{3} \end{align*}

Comentario:

• En (1) se utiliza la doble factorial para valores impares $$(2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1$$

• En (2) utilizamos la identidad \begin{align*} (2n)!=(2n)!!(2n-1)!! \end{align*}

• En (3) se utiliza la identidad \begin{align*} (2n)!!=2^nn! \end{align*}