Eigenstates de QFT y amplitud de un operador de campo

Question

He visto en diferentes puestos (como aquí) que, dado un campo de $\hat{\phi}(x)$, sus autoestados $|\phi\rangle$ son de la forma:

$$|\phi\rangle\ = e^{\int dx\phi(x)\hat{\phi}(x)}|0\rangle\tag1$$

No entiendo de donde vino esto.

Además, tengo otra pregunta. Si yo tuviera una una partícula estado $|\vec{p}\rangle$, y quiero saber la amplitud de la forma de la esfera, vamos a llamar a $f(x)$, supongo que tengo que calcular

$${\rm amplitude} =\ \langle f(x)|\vec{p}\rangle \ =\ \langle f(x)|a_{\vec{p}}^\dagger\ |0\rangle \tag2$$

Donde $|0\rangle$ es el vacío del estado. Pero, podría escribir la ecuación (2) como:

$${\rm amplitude} = 4\sqrt{\pi}f(x)\exp\{-\frac{1}{2}\int\ d^3d^3yf(x)\Omega_{x, y}f(y)\}\tag3$$

En analogía con la armónica ($4\sqrt{\pi}f(x) =$ norma de estado en el oscilador Armónico veces el 1-de Hermite de grado del polinomio) y con $\Omega_{x, y}$ es el kernel que se puede ver en la ecuación. (3) de término de Interacción en QFT

Answer 1

Su mejor opción podría ser Itzykson Y Zuber del overdetailed QFT texto, insertar en 3.1.2. Explican que su excesivamente ingenua expresión (1) los rendimientos de los autoestados de $\hat \phi (x)_-$, no $\hat \phi (x)$. La respuesta está citando claramente advierte que esto es no un operador de campo eigenstate. (Por cierto, su $|f(x)\rangle$ realmente debería ser $|f\rangle$, ya que cubre todos los xs. El argumento es la función, no de su valor en algunos x.)

En lugar de perecer en una pesadilla de secuencia de transformaciones de Fourier, que es incontrolable, indexación y normalizaciones para hacer cumplir la invariancia de Lorentz y Hermiticity, me voy a dar una sencilla sugerencia.

Voy a eliminar toda la variedad infinita de los osciladores de QFT, conservando sólo uno, y recordarle de la básica coherente estado maniobras, adumbrating el mapa de ruta para la prueba que implican una infinidad de osciladores.

Así, sólo seguir un solo oscilador, y vaya aquí ; aquí; y aquí para los detalles técnicos. $\hat \phi$ aquí corresponde a $\hat x$, $\hat \phi_+$ a $a^\dagger$, pero $\hat p$ a la canónica conjugado campo $\pi$; claramente no su oscilador de la etiqueta, la pelusa, para su $|\vec p\rangle$, lo que ha reducido a un único valor aquí (junto con su x pelusa de la etiqueta).

Recuerdan $[a , a^\dagger ]=1$. Luego,tomando x=f para su configuración clásica, aquí, ubicación, $$ |f\rangle = N(f) ~ \exp\left ( -\frac{(a^\daga -f\sqrt{2})^2} {2} \right )|0\rangle \Longrightarrow \hat{~x}~|f\rangle=f|f\rangle,\\ |p\rangle= N(p) ~ \exp \left( \frac{(a^\daga +ip\sqrt{2})^2}{2} \right ) |0\rangle \Longrightarrow \hat{~p}~|p\rangle=p|p\rangle ~. $$ Usted puede tratar de arreglar $N(x)=e^{x^2/2}/\pi^{1/4}$ de $\langle 0|x\rangle$, la de Schrödinger estado fundamental del oscilador. (De hecho, N es el inverso de la Gaussiana!) A continuación, se muestra que $$ \langle p |x\rangle= e^{ixp}/ \sqrt{2\pi}. $$ La maniobra básica es que una actúa como un operador de la derivada en el $a^\dagger$s en el exponenciales.

El análogo de la conjugada de su amplitud (2) aquí es $$\langle 0| a |f\rangle = \langle 0|f\sqrt{2}-^\daga|f\rangle= f\sqrt{2} ~ \langle 0 |f\rangle =f\sqrt{2}~e^{-f^2/2}/\pi^{1/4}.$$ Estoy seguro de lo que usted podría aprender de esto para un aislado oscilador, y, a fortiori, en escalar la teoría del campo, pero ahí está.

Tenga en cuenta que si sólo había mantenido la cruz términos en el exponente, es decir, si había tiraron fuera del término cuadrático en el exponente, que habría recibido la misma respuesta para (2), como operativos de la función de cambio de la una es la misma que para la coherencia de los estados en QM!

Por supuesto, el real McCoy aquí no es sino el propio estado, $$\frac{ a +a^\daga}{\sqrt{2}} |f\rangle = f |f\rangle . $$ Esto podría ayudar a esclarecer el papel del término cuadrático en el exponente: dejar de lado ese término cuadrático en el exponente daría un eigenstate de sólo una.