¿Por qué resta velocidad relativista produce una mayor velocidad relativa que clásico?

Question

Tengo una pregunta para hacer la tarea diciendo que había dos cohetes en una vía paralela, que se dirige hacia la tierra. Cohete de Una era en la parte delantera del Cohete B. Cohete Un viajaba a una velocidad de $0.75c$ desde el marco de referencia (DE) de la tierra y el Cohete B viajaba a una velocidad de $0.5c$ de la de la tierra. La pregunta para encontrar la velocidad de Un Cohete de la PARA de Cohete B.

Tengo una respuesta de $0.4c$, $$v_{AB}=\frac{v_a-v_b}{1-v_av_b/c^2}=\frac{0.75c-0.5c}{1-0.75c\cdot0.5c/c^2}=0.4c,$$

que tanto a mis profesores dijo que era correcto.

Estoy confundido porque esta velocidad es mayor que lo que me dieron con la fórmula clásica de la velocidad de adición ($0.25c$). Para cada pregunta que me han hecho, el relativista de la velocidad es menor que la clásica velocidad. Me pregunto por qué el relativista de la velocidad es mayor en este caso?

Answer 1

Si los dos se mueven en la misma dirección, se están dividiendo a la clásica resultado un número menor que uno: $1-v_1v_2/c^2$, por lo tanto el resultado será siempre mayor que la clásica. Si ellos se mueven en direcciones opuestas, entonces el signo de los cambios y que está dividiendo por un número mayor que uno, y por lo tanto se obtiene un resultado menor que la clásica.

Ambos resultados son intuitivos. Imagino que ambos están moviendo en la misma dirección próxima a la c. Classicaly, la diferencia va a ser muy pequeña (digamos 0.00000001 c), pero que podría ser mueven uno respecto del otro a una velocidad cercana a c. Si se mueve, en cambio, en sentido contrario, a velocidades cercanas a c, el clásico resultado será más cercano a 2c, sino que podremos ver cada uno de los otros en movimiento a una velocidad mayor que c, entonces el resultado será menor que la clásica.

Answer 2

Mi conjetura es sólo que el problema está invertida con respecto a los problemas que han visto, donde los problemas se han visto aspecto:

"Alice ve a Bob se mueven a la velocidad de $u~\hat x$ y Bob se ve a Carol se mueven a la velocidad de $v~\hat x$, ¿a qué velocidad Alice ver Carol se mueve?"

La respuesta aquí es construir el mundo en línea Bob marco de referencia, $\text{Carol}=\{(ct, vt)_{\text{Bob}}, \text{ for all } t\}$, entonces el impulso que por la velocidad de $-u\hat x$ en la de Alice marco de referencia y tomar la relación de espacio y tiempo de los componentes (debido a que el mundo en línea todavía pasa por $(0,0)$), produciendo $$v_{\text{Alice}}= c~\frac{\gamma_u~(vt+\beta_uct)}{\gamma_u~(ct+\beta_uvt)}=\frac{v+u}{1+uv/c^2}.$$

Pero ahora se enfrentan en su lugar con el problema,

"Alice ve a Bob se mueven a la velocidad de $u~\hat x$ y Carol se mueven a la velocidad de $v~\hat x$, ¿a qué velocidad Bob ver Carol se mueve?"

La solución de este problema es idéntico debido a que en el problema anterior Bob también vio a Alice en movimiento con velocidad de $-u\hat x,$ , y así tener una descripción completa de la anterior cálculo precisamente en este formato, sólo los nombres son diferentes. Si usted va a ir a través de la derivación de nuevo verás que la única diferencia es que se están impulsando por la velocidad de $+u\hat x$ por lo tanto el signo de $u$ ha cambiado de darle, $$v_{\text{Bob}}= c~\frac{\gamma_u~(vt-\beta_uct)}{\gamma_u~(ct-\beta_uvt)}=\frac{v-u}{1-uv/c^2}.$$

Una vez que, no es demasiado difícil ver que si la velocidad (Carol visto por Alice) es más lento (que Carol visto por Bob) y de las direcciones de la estancia de la misma, luego la otra velocidad (Carol visto por Bob) debe ser mayor (que Carol visto por Alice). Es sólo el mismo número de dos maneras diferentes.

Answer 3

No creo que te estamos pidiendo la matemática a comprobar, pero por qué la respuesta tiene sentido.

Pensar en los dos casos límite. La primera es la más fácil: Usted tiene dos linternas que apuntan en direcciones opuestas. Desde el marco de referencia de un fotón de Una linterna, los fotones en la linterna B va a la velocidad de la luz en la dirección opuesta a pesar de la clásica resultado sería que viajan de uno a otro en la 2c.

Así que aquí, relativista viajan en direcciones opuestas conduce a velocidades menores que las clásicas resultado.

El que usted está encontrando contra-intuitivo es este experimento: Usted está en un tren que iba 0.999 c. Super rápido. A continuación, encienda una linterna y el punto hacia adelante. Desde su marco de referencia, usted SABE que los fotones tienen que estar viajando a la velocidad de la luz, pero que el clásico resultado sería 0.001 c.

En este ejemplo, relativista viajar en la misma dirección conduce a velocidades mayores que la clásica resultado.

La relatividad no es intuitivo, tenemos que ajustar nuestra intuición para que coincida con sus resultados. Y simple gut check escenarios como los dos que he descrito anteriormente puede ayudar con la intuición.

Answer 4

Vamos a una partícula $\; a\;$ movimiento uniforme con velocidad de $\;\mathbf{v}\;$ con respecto a un sistema inercial $\;\mathrm S$. Una segunda partícula $\;b\;$ está en movimiento uniforme con velocidad de $\;\mathbf{u}\;$ con respecto a la partícula $\;a$. Un sistema inercial $\;\mathrm S_a\;$ está conectado a la partícula $\;a\;$ en la configuración estándar para el sistema inercial $\;\mathrm S$. Para encontrar la velocidad $\;\mathbf{w}\;$ de partícula $\;b\;$ con respecto al sistema inercial $\;\mathrm S\;$ hay que añadir los dos vectores $\;\mathbf{v},\mathbf{u}\;$ , además de no relativista o relativista.

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A. La No-Relativista, además de a$\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}$

Como se muestra en la Figura-01 tenemos \begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm NR}}\boldsymbol{=}\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j} \tag{NR-01}\label{NR-01} \end{equation} así \begin{align} \mathrm w_{_{\rm NR}}^2 & \boldsymbol{=}\mathrm u^2\boldsymbol{+}\mathrm v^2\boldsymbol{+}2\,\mathrm u\,\mathrm v \cos\!\phi\vphantom{\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}} \tag{NR-02.1}\label{NR-02.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm NR}} & \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi\boldsymbol{+}\mathrm v} \tag{NR-02.2}\label{NR-02.2} \end{align}

Mantener el vector $\;\mathbf{v}\;$ y la magnitud $\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$ constante el borde de $\;\mathbf{w}_{_{\rm NR}}\;$ está moviendo en un círculo completo, como el ángulo de $\;\phi\;$ está cambiando en $\;\left[0,2\pi\right]$.

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B. El Relativista, además de a$\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}$

En este caso tenemos \begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{+}\left(\gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{-}1\right)\left(\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{\mathrm v^2}\right)\mathbf{v}\boldsymbol{+}\gamma_{\mathrm v}\mathbf{v}}{\gamma_{\mathrm v}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{v}}{c^2}\right)}\,,\qquad \gamma_{\mathrm v}\boldsymbol{=}\left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm v^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-\frac12}} \tag{R-01}\label{R-01} \end{equation} A Partir De La Figura-02 \begin{equation} \mathbf{w}_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\left(\mathrm u\cos\phi\boldsymbol{+}\mathrm v \right)\mathbf{i}\boldsymbol{+}\left(\sqrt{1\boldsymbol{-}(\mathrm v/c)^2}\,\mathrm u\sin\phi\right)\mathbf{j}\vphantom{\dfrac12}}{\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathrm{u}\,\mathrm{v}}{c^2}\cos\phi\right)} \tag{R-02}\label{R-02} \end{equation} así \begin{align} \left(\dfrac{\rm w_{_{\rm R}}}{c}\right)^{\!2}& \boldsymbol{=}1\!-\!\dfrac{\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm u}{c}\right)^{\!2}\right]\left[1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}\right]}{\left(1+\dfrac{\rm u v}{c^2}\cos\phi\right)^{\!2}} \tag{R-03.1}\label{R-03.1}\\ \tan\!\theta_{_{\rm R}}& \boldsymbol{=}\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\dfrac{\mathrm u\,\sin\!\phi}{\mathrm u\,\cos\!\phi+\mathrm v}=\sqrt{1\!-\!\left(\dfrac{\rm v}{c}\right)^{\!2}}\,\tan\!\theta_{_{\rm NR}} \tag{R-03.2}\label{R-03.2} \end{align}

Mantener el vector $\;\mathbf{v}\;$ y la magnitud $\;\mathrm u = \Vert\mathbf{u}\Vert\;$ constante el borde de $\;\mathbf{w}_{_{\rm R}}\;$ se mueve en un circuito cerrado de puntos suspensivos-como la curva como el ángulo de $\;\phi\;$ está cambiando en $\;\left[0,2\pi\right]$.

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Tenga en cuenta que a partir de la ecuación \eqref{R-03.1} tenemos la conocida resultados al $\;\mathbf{u},\mathbf{v}\;$ son colineales \begin{align} \phi & \boldsymbol{=}0 \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=+}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm u \boldsymbol{+}\mathrm v }{1\boldsymbol{+}\dfrac{\rm u v}{c^2}} \tag{R-04.1}\label{R-04.1}\\ \phi & \boldsymbol{=}\pi \quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \cos\phi \boldsymbol{=-}1\quad\boldsymbol{\Longrightarrow}\quad \rm w_{_{\rm R}}\boldsymbol{=}\dfrac{\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert}{1\boldsymbol{-}\dfrac{\rm u v}{c^2}}>\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v \vert \tag{R-04.2}\label{R-04.2} \end{align}

De \eqref{R-04.2} llegamos a la conclusión de que para $\;\phi=\pi\;$ la magnitud $\;\rm w_{_{\rm R}}\;$ resultante de la suma relativista es mayor que la magnitud de la no-relativista suma $\;\vert\mathrm u \boldsymbol{-}\mathrm v\vert\;$ para los valores de
$\;\rm u,v\;$ menos de $\;c$.

Answer 5

No veo cómo se podría conseguir .25c con la suma de las velocidades. Claramente, tienes que por restando .5 desde .75. Tenemos que .4c "plus".5c .75c, que es menos de lo que podríamos conseguir con adición clásica. Si relativista, además de a$v_1$ e $v_2$ da $v_3$, e $v_3$ es de menos de $v_1+v_2$, entonces claramente relativista de la resta de $v_2$ de $v_3$ tiene que dar algo más de $v_3-v_2$. Con suerte, eso es bastante claro: la resta es lo contrario, así que el efecto es contrario. Si añadimos una velocidad y, a continuación, resta, entonces debemos terminar con la velocidad que hemos empezado. Pero si tanto la adición y la sustracción hace velocidades pequeñas, acabaríamos con una velocidad menor que la que empezamos con (por ejemplo, si añadimos $v$ a $u$, nos encontramos con algo menos de $u+v$. Si luego restamos $v$ a partir de eso, queremos, por su forma de pensar, algo más pequeño (algo más pequeño que u+v)-v, que sería inferior a u). Si $add(u+v)<u+v$ para todos los $u$, $v$, a continuación, $subtract(u,v)$ debe ser mayor que $u-v$. Eso es porque, por definición, $add(v+subtract(u,v))$ es igual a $u$ (si se resta un número, a continuación, añadir la espalda, se termina con el número que se inició con), así que si tenemos $add(v+subtract(u,v))<v+subtract(u,v)$, entonces podemos sustituir $u$ en de $add(v+subtract(u,v))$ y consigue $u<v+subtract(u,v)$o $u-v<subtract(u,v)$, o $subtract(u,v)>u-v$.

Así que cuando usted agregue dos velocidades, se obtiene un número menor que la clásica de la suma, y cuando restan dos velocidades, se obtiene un número mayor que la clásica diferencia. Una cosa que usted puede comparar es la adición de los volúmenes y el resultado de la radio: si se tienen dos esferas, y desea una esfera con el volumen de la suma de sus volúmenes, la radio va a ser menor que la suma de los radios. Si desea una esfera con el volumen de las diferencias de volúmenes, la radio va a ser mayor que la diferencia de los radios.