$\int_1^{\infty}\sqrt{\frac{\log x}{x^4+1}}dx=$??

Question

Considerar el terrible, horrible-no-bueno-muy-mala integral $$I=\int_1^{\infty}\sqrt{\frac{\log x}{x^4+1}}dx$$ Donde, por supuesto $\log x$ denota el logaritmo natural.

Contexto:

Mi amigo me preguntó a evaluar $$\lim_{x\to1}\sqrt{\frac{\log x}{x^4+1}}$$ Así que me gráficamente, lo que me hizo preguntarme si había cerrado-ish formulario para $$\int_1^{\infty}\sqrt{\frac{\log x}{x^4+1}}dx$$

No sé por dónde empezar, porque no puedo pensar en ninguna serie que iba a dar a la integral. Estoy seguro de que el integrando no tiene ninguna primaria antiderivada, y no tengo idea de lo que una sustitución adecuada para Feynman de integración sería. Pensé que podría ser beneficioso para tratar de simplificar con una sustitución de $\log x=t$, pero no puedo ver que conseguir en cualquier lugar. Por favor, ayudar.

Answer 1

$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\sqrt{t}}{e^t\sqrt{1+e^{-4t}}}\,dt $$ es un motor de arranque, entonces $$ \frac{1}{\sqrt{1+z}}=\sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}(-1)^n z^n $$ conduce a $$ I = \sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}(-1)^n \int_{0}^{+\infty}\sqrt{t}\, e^{-(4n+1)t}\,dx $$ y a $$ I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\sum_{n\geq 0}\frac{\binom{2n}{n}(-1)^n}{4^n(4n+1)^{3/2}}.$$ No es una "forma cerrada" de la expresión, pero una muy buena serie representación numérica de los efectos.
El original de la integral está relacionado con la semiderivative en el origen de $$ f(s)=\int_{1}^{+\infty}\frac{x^s}{\sqrt{x^4+1}}\,dx = \frac{1}{1-s}\,\phantom{}_2 F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-s}{4};\tfrac{5-s}{4};-1\right).$$