serie exponencial

Question

Objetivo: Si $f(z)^8$ es analítica en algunos dominio D y si $f(z)$ es continua en el dominio $D$ con $f(0) = 0$, entonces el poder de la serie de $f(z)^8 = \sum a_nz^n$ comenzará con $n$ divisible por $8$

Mi intento:

Permitir $g(z) = f(z)^8$ que es analítica en algunos dominio D. a Continuación, hacemos uso de Cauchy de la integral para calcular nuestra $a_n$.

$$g^{(n)}(z) = a_n = \frac{n!}{2\pi i}\int_{D} \frac{g(w)}{(w-z)^{n+1}} dw$$

Ahora, me doy cuenta de que podemos dividir el integrando, pero no estoy muy seguro de si es útil

$$\frac{n!}{2\pi i} \int_D \frac{1}{(w-z)^{j}} \frac{f(w)^8}{(w-z)^{8k+1}} dw$$.

Donde $j + 8k + 1 = n + 1$

¿Alguien puede decirme si esto va en la dirección correcta o en cualquier insinuación?

Answer 1

Su hipótesis de la continuidad de la $f$ junto con la analiticidad de $f^8$ es suficiente para la conclusión de $f$ es analítica. Por ejemplo, véase el siguiente:

• Si $z\mapsto f(z)^n$ es analítica, a continuación, $f$ es analítica
• Si $f^2$ es una analítica de la función lo es $f$

El ex da el resultado de inmediato, pero es un poco más difícil de demostrar, mientras que el segundo da el resultado después de señalar $f$ continua implica $f^2$ e $f^4$ son continuos, en el cual se aplique el último resultado de tres veces.

Sabemos pues $f$ es analítica, por lo $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty c_kz^k$$
La aplicación de edición que $f(0)=0,$ debemos tener $c_0 = 0.$ supongamos primero $c_1 \neq 0,$ lo $$f(z) = \sum_{k=1}^\infty c_kz^k = c_1 z + \mathcal{O}(z^2)$$ Por lo tanto, por el Teorema del Binomio, tenemos que $$f(z)^8 = (c_1 z + \mathcal{O}(z^2))^8 = (c_1 z)^8 + \mathcal{O}(z^9)$$ Lo que demuestra la reclamación siempre que $c_1 \neq 0.$

Ahora podemos utilizar esta idea para demostrar que el caso general. Supongamos $c_k = 0$ para $0 \le k \le n-1,$ pero $c_n \neq 0.$Luego: $$f(z)^8 = \left(\sum_{k=n}^\infty c_kz^k\right)^8 = (c_n z^n + \mathcal{O}(z^{n+1}))^8 = (c_n z^n)^8 + \mathcal{O}(z^{8(n+1)})$$ Lo que demuestra que el líder distinto de cero término tendrá una potencia divisible por $8.$ Esto por supuesto, se extiende fácilmente a otros poderes de $f.$