Evaluar el límite de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$

Question

Evaluar el límite de:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$$

Las sugerencias que me dan:

1 - La exponencial de la serie de tipo de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ convergen en $e^x$ cualquier $x\in R$

2 - Cualquiera de las series de tipo de $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{P(n)}{n!}x^n$ , se $P(n)$ un polinomio de cualquier nivel y $\forall x\in R$, también converge.

3- $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$

¿Cuál es el límite de esta serie?

De acuerdo a las sugerencias es convergente, esto es lo que he probado hasta ahora:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n(n-1)!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n-1)!}$

La aplicación de la sugerencia 3:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!}$

Dividir la serie en la 2:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$

La aplicación de pista 1, con $x=1$ a la segunda parte:

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!}=e+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}$

No sé cómo seguir adelante, sé que la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}$ converge en $e$ por lo tanto el resultado de toda la serie es 2 veces $e$ pero yo no entiendo por qué!

Answer 1

<span class="math-container">$Sn = \sum{k=1}^{n} \frac{k^2}{k!}$</span>

Escribe <span class="math-container">$k! = k(k-1)!$</span>, obtenemos

<span class="math-container">$Sn = \sum{k=1}^{n} \frac{k}{(k-1)!} = \sum{k=1}^{n} \frac{k-1}{(k-1)!} +\sum{k=1}^{n} \frac{1}{(k-1)!}$</span>.

Usando <span class="math-container">$(k-1)! = (k-1)(k-2)!$</span>, esto puede ser aún más simplificado:

<span class="math-container">$Sn = \sum{k=2}^{n} \frac{1}{(k-2)!} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k-1)!}$</span>.

Cada una de las conclusiones arriba converge a <span class="math-container">$e$</span> <span class="math-container">$n \rightarrow \infty$</span>, así que conseguir <span class="math-container">$\text{lim}_{n \rightarrow \infty}S_n = 2e$</span>.

Answer 2

<span class="math-container">$ f (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2 x ^ n} {n}! $$</span> se puede expresar como <span class="math-container">$ f (x) = x \frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}e^x\right) = x \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x(x+x^2). $</span> por lo tanto su suma es <span class="math-container">$f(1)=2e$</span>.

Answer 3

<span class="math-container">$$\begin{matrix} \&\dfrac1{0!}&+&\dfrac1{1!}&+&\dfrac1{2!}&+&\dfrac1{3!}&+&\dfrac1{4!}&+&\cdots \+&&&\dfrac1{0!}&+&\dfrac1{1!}&+&\dfrac1{2!}&+&\dfrac1{3!}&+&\cdots \\hline =&\dfrac1{0!}&+&\dfrac{1+1}{1!}&+&\dfrac{1+2}{2!}&+&\dfrac{1+3}{3!}&+&\dfrac{1+4}{4!}&+&\cdots \=&\dfrac1{0!}&+&\dfrac{2}{1!}&+&\dfrac{3}{2!}&+&\dfrac{4}{3!}&+&\dfrac{5}{4!}&+&\cdots \=&\dfrac{1^2}{1!}&+&\dfrac{2^2}{2!}&+&\dfrac{3^2}{3!}&+&\dfrac{4^2}{4!}&+&\dfrac{5^2}{5!}&+&\cdots \end{matriz} $$</span>

Answer 4

Como una alternativa

<span class="math-container">$$\sum{n=1}^{N}\frac{n^2}{n!}=\sum{n=1}^{N}\frac{n}{(n-1)!}=\sum{n=0}^{N-1}\frac{(n+1)}{n!}=\sum{n=0}^{N-1}\frac{n}{n!}+\sum{n=0}^{N-1}\frac{1}{n!}=\sum{n=1}^{N-1}\frac{1}{(n-1)!}+\sum{n=0}^{N-1}\frac{1}{n!}=$$<span class="math-container">$$=\sum{n=0}^{N-2}\frac{1}{n!}+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{1}{n!} \to e+e=2e$$</span></span>

Answer 5

<span class="math-container">$$e^{x}=\sum{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ $</span> diferenciarla <span class="math-container">$$e^{x}=\sum{n=1}^{\infty }\frac{nx^{n-1}}{n!}$ $</span> multiplicar por <span class="math-container">$x$</span> <span class="math-container">$$xe^{x}=\sum{n=1}^{\infty }\frac{nx^{n}}{n!}$ $</span> diferencian otra vez <span class="math-container">$$xe^{x}+e^x=\sum{n=1}^{\infty }\frac{n^2x^{n-1}}{n!}$ $</span> sea <span class="math-container">$x=1$</span> <span class="math-container">$$1e^{1}+e^1=\sum{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n!}$ $</span> así <span class="math-container">$$\sum{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n!}=2e$ $</span>