Método numérico para encontrar las raíces de la derivada de $y = (x^3 - 4x) \cdot \frac{\sqrt{13+4x^2}}{2}$ (Método de Newton)

Question

Estoy trabajando en un problema de Optimización y me gustaría proponer encontrar la solución (es decir, los extremos) de la función que se muestra a continuación utilizando dos métodos: el primero es calcular la derivada y hacerla igual a cero y el segundo utilizar un método numérico.

La ecuación del modelo se muestra a continuación:

\begin{align*} y = (x^3 - 4x) \cdot \frac{\sqrt{13+4x^2}}{2} \end{align*}

(la derivada es la siguiente)

\begin{align*} y' = \frac{16x^4 +7x^2 - 52}{2 \sqrt{13+4x^2}} \end{align*}

Tengo dos preguntas sobre su uso:

• Basándome en algunas investigaciones, he descubierto que es posible utilizar el método de Newton en funciones que no son polinomios. ¿Es eso correcto?
• ¿Es el método de Newton el más adecuado en este caso?

Answer 1

Queremos encontrar los extremos de la función

$$\begin{align*} y(x) = (x^3 - 4x) \cdot \frac{\sqrt{13+4x^2}}{2} \end{align*}$$

Un enfoque es utilizar Método Newton en $y'(x)$ , donde

$$y'(x) = \frac{16 x^4+7 x^2-52}{2 \sqrt{4 x^2+13}}$$

Empezamos por trazar $y(x)$ y ver dos extremos para tratar de encontrar usando el Newton

La fórmula de iteración del método de Newton viene dada por

$$x_{n+1} = x_n-\dfrac {f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \dfrac{16x_n^4 + 7x_n^2 - 52}{2 \sqrt{4 x_n^2 + 13}\left( \dfrac{64 x_n^3 + 14 x_n}{2 \sqrt{4 x_n^2 +13}} - \dfrac{2 x_n (16 x_n^4 + 7 x_n^2 - 52)}{(4 x_n^2 + 13)^{3/2}}\right) }$$

Esto se puede simplificar para eliminar las raíces cuadradas y las desagradables divisiones como

$$x_{n+1} = x_n - \dfrac{\left(4 x^2+13\right) \left(16 x^4+7 x^2-52\right)}{2 x \left(96 x^4+430 x^2+195\right)}$$

Si inicializamos el método de Newton con $x_0 = -1.4$ llegamos a $x_4 = -1.26382$ en $4$ pasos.

Si inicializamos el método de Newton con $x_0 = 1.4$ llegamos a $x_4 = 1.26382$ en $4$ pasos.

Actualización

Hay un enfoque más fácil de encontrar donde $y'(x) = 0$ sólo tenemos que encontrar las raíces del numerador de $y'(x)$ por lo que la iteración de Newton puede simplificarse a

$$x_{n + 1} = x_n - \dfrac{16 x_n^4 + 7 x_n^2 - 52}{64 x_n^3 + 14 x_n}$$

Esto da los mismos resultados que antes. Además, comparando esto con la iteración anterior, el término cuadrático $(4 x^2 + 13)$ , nos lleva a raíces imaginarias que no nos importan.

Por último, cabe destacar que se puede utilizar una simple transformación, $t = x^2$ en el numerador de las iteraciones para obtener $16 t^2 + 7 t - 52 = 0$ y, a continuación, resolver una fórmula cuadrática y eliminar por completo el método de Newton.

Answer 2

Pista: Tengo esto aquí $$f'(x)={\frac {6\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}+13\,x-26}{\sqrt {4\,{x}^{2}+13}}}$$