Supongamos que uno se da un auto-adjunto del operador $A$ que actúa sobre un infinito dimensional espacio de Hilbert separable $\mathcal{H}$. Bajo qué condiciones se puede encontrar un operador $B$ tal que $[A,B] = i$? Y si esto es posible, ¿cómo hace uno para construir $B$?
Por simplicidad, suponga que $H \simeq L_2(\mathbb{R})$ y que $A = A(X,P)$ es una función de la posición del operador $X$ y el impulso operador $P$.
Lo que, en definitiva, quiero saber, es el siguiente. Dado un sí mismo-adjoint operador $A(X,P)$, por la Piedra del teorema sabemos que $A(X,P)$ genera un parámetro-grupo unitario $U(t) = e^{-iA(X,P) t}$. Lo que quiero saber es si hay una auto-adjunto del operador (observable) $B(X,P)$, de tal manera que $U(t)$ genera traducciones de $B(X,P)$. Y cómo encontrar a $B(X,P)$ da $A(X,P)$. Sé que la condición para $A(X,P)$ generar traducciones de $B(X,P)$ es que estos operadores deben satisfacer los canónica de la conmutación de la relación de $[A,B] = i$, y de ahí el motivo por el fraseo de la pregunta, como yo hice. Esto es análogo a cómo $P$ genera traducciones en $X$, es decir, $e^{-i Px} \left|x_0\right\rangle = \left|x+x_0\right\rangle$.
