¿Puede alguien ayudar a explicar este ejemplo básico de posterior

Question

Me cuesta entender el razonamiento de los autores. Es de " La elección bayesiana "

Me confunde por qué el posterior se escribe inicialmente sin depender de los datos, y por qué integramos el numerador.

Lo es,

Considere una observación $x$ de un normal $$N(\frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2},1)$$

Entonces (del libro, página 24).

Answer 1

Perdón por la confusión. La distribución posterior conjunta sobre $(\xi_1,\xi_2)$ es $$\pi(\xi_1,\xi_2|x)\propto \exp\{-(x-\xi_1)^2/2\}\pi_1(2\xi_1)\pi_2(2\xi_2)$$ Por lo tanto, la posterior marginal sobre $\xi_2$ viene dado por el marginal de lo anterior, hasta una constante, es decir $$\pi(\xi_2|x)\propto \int\exp\{-(x-\xi_1)^2/2\}\pi_1(2\xi_1)\pi_2(2\xi_2)\,\text{d}\xi_1$$ que no depende de $x$ . Este es un caso, aunque artificial, en el que la posterior y la previa son iguales.

Answer 2

No estoy proporcionando otra respuesta a la pregunta, sino otro ejemplo del mismo tipo que se presenta en la pregunta. El ejemplo que presento surgió en el curso de mi investigación (como parte de un muestreador de Gibbs dentro de un modelo de mezcla de procesos de Dirichlet); en ese sentido no es "artificioso".

Hay una observación $x$ extraído de una distribución de orden-estática. La densidad de probabilidad para el $k$ -de orden estadístico a partir de una muestra de $n$ Las extracciones iid de la distribución uniforme en el intervalo unitario vienen dadas por \begin{equation} p(x|k,n) = \textsf{Beta}(x|k,n-k+1) , \end{equation} donde \begin{align} n &\in \{1, 2, \ldots \} \\ k &\in \{1, \ldots, n\} . \end{align} Dejemos que la prioridad para $(k,n)$ sea dada por $p(k|n)\,p(n)$ , donde $p(k|n) = 1/n$ para todos $k$ y $p(n)$ es una distribución arbitraria.

La distribución posterior para $(k,n)$ se caracteriza por \begin{equation} p(k,n|x) \propto p(x|k,n)\,p(k,n) = \frac{\textsf{Beta}(x|k,n-k+1)}{k}\,p(n) . \end{equation} El posterior marginal para $n$ puede calcularse integrando (es decir, sumando) $k$ : \begin{equation} p(n|x) = \sum_{k=1}^n \frac{\textsf{Beta}(x|k,n-k+1)}{k}\,p(n) = p(n) . \end{equation} Vemos que la distribución posterior para $n$ no varía con respecto a su distribución anterior.

El resultado se obtiene gracias a la propiedad de adición de las estadísticas de orden. Por ejemplo, supongamos que $n$ Las extracciones se realizan a partir de la distribución uniforme y se clasifican por orden. A continuación, se elige al azar una de las extracciones ordenadas (es decir, con probabilidad $1/n$ ). Esta elección aleatoria "deshace" el efecto de la clasificación, por lo que la distribución del sorteo elegido mediante este mecanismo es simplemente la distribución subyacente, que en este caso es la distribución uniforme.

Para completar la información, hay que tener en cuenta que la distribución posterior de $k$ con la condición de $n$ puede expresarse en términos de la siguiente densidad: \begin{equation} p(k|x,n) = \textsf{Binomial}(k-1|n-1,x) . \end{equation}