Comprender la distancia entre una línea y un punto en el espacio 3D

Question

Sé que hay maneras más rápidas de hacer lo que estoy a punto de presentar. Pero quiero entender por qué mi enfoque no funciona.

Deje que el punto de $P = (-6, 3, 3)$ y la línea de $L=(-2t,-6t,t)$.

Estoy tratando de encontrar la distancia más corta entre el punto y la línea. Desde mi observación, creo que la recta pasa por el origen, porque puede ser escrito como $$L=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix}-2 \\ -6 \\ 1 \end{bmatrix} $$.

Deje $Q$ denotado $(a, b, c)$ ser un punto en $L$ tal que $\vec{QP}$ es la distancia más corta entre $L$ e $P$. Tenga en cuenta que $\vec{QP}$ es normal a $L$.

Por lo tanto, tengo que encontrar a $\vec{QP}$ que es $\vec{P}-\vec{Q}$.

$\vec{QP} = (-6 - a, 3 - b, 3 -c)$

Sabemos que $\vec{QP}$ e $L$ son perpendiculares, por lo que el producto escalar es 0.

$$-2(-6 - a) - 6(3 - b) + (3 - c) = 0$$

Simplificar nos da $$2a + 6b - c -3 = 0$$

deje $a=0$, $b=1$, entonces por resolver sabemos que $c=3$.

Desde mi entender, deberíamos haber encontrado $Q$ que intersecta $L$ e $\vec{QP}$. Por desgracia, parece que $||\vec{QP}||$ no es la respuesta correcta. Creo que la forma me las arreglé para sacar el $a$, $b$ e $c$ es el culpable, sin embargo, yo no entiendo lo que me hizo mal.

Answer 1

Han ignorado completamente la restricción <span class="math-container">$Q$</span> ser un punto de <span class="math-container">$L$</span>. Impone <span class="math-container">$b=3a$</span>, por ejemplo, que no cumple su propuesta <span class="math-container">$a=0,b=1$</span> .

Answer 2

Usted necesita encontrar el punto de $Q$ a $L$ minimizando la distancia de $P$. Desde $Q=(a,b,c)$ se encuentra en $L$, $a,b,c$ deben satisfacer las relaciones $a=-2c$ e $b=-6c$. Además, $QP$ debe ser ortogonal a $L$, lo $(a+6,b-3,c-3) \cdot (-2,-6,1)=0$.

Answer 3

Deje $v = (-6,3,3), u = (-2,-6,1)$

$v - \frac {u\cdot v}{\|u\|^2} u$

Describe un vector a partir de la línea definida por $(0,0,0) + ut$ hasta el punto de $v$ que es ortogonal a $u.$

$\|v - \frac {u\cdot v}{\|u\|^2} u\|$ será su distancia.

$\big(v - \frac {u\cdot v}{\|u\|^2} u\big)\cdot\big(v - \frac {u\cdot v}{\|u\|^2} u\big) = \|v\|^2 - \frac {(u\cdot v)^2}{\|u\|^2}$

Alternativamente.

$d^2 = (-6+2t)^2 + (3+6t^2) + (3-t)^2\\ d^2 = 54 +6t +41t^2\\ d^2 = 41(t + \frac {3}{41})^2 - \frac {9}{41} + 54$

La distancia se minimiza cuando se $t = -\frac {3}{41}$

y $d^2 = 54 - \frac 9{41}\\ d = \sqrt {54 - \frac 9{41}}$

Vale la pena señalar que

$54 = (-6,3,3)\cdot(-6,3,3) = \|v\|^2\\ -3 = (-6,3,3)\cdot(-2,-6,1) = u\cdot v\\$

y $41 = (-2,-6,1)\cdot(-2,-6,1) = \|u\|^2$

Answer 4

Usted desea reducir al mínimo la distancia <span class="math-container">$D$</span>, pero es más fácil reducir al mínimo <span class="math-container">$$ D^2 = (2t-6)^2+(6t+3)^2+(t-3)^2$ $</span>

Diferenciar para obtener <span class="math-container">$$4(2t-6)+12(3+6t)+2(t-3)=0$ $</span> Solve <span class="math-container">$t$</span> a <span class="math-container">$t= \frac {-3}{41}$</span>

Le da el punto en línea <span class="math-container">$$Q=(\frac {6}{41},\frac {18}{41}, \frac {-3}{41})$ $</span>