Estructura del grupo de rompecabezas giratorio cuadrado

Question

Supongamos que organizar los números de $1$ través $6$ a los "vértices" de la formada por la alineación de los lados de dos cuadrados, como se muestra a continuación:

En este "rompecabezas" los únicos movimientos permitidos son la rotación de los vértices de los cuadrados de la izquierda.

Me gustaría encontrar el grupo $G$ que representa este rompecabezas, pero no puedo averiguar cómo tener en cuenta la interacción entre las dos plazas. Todo lo que sé ahora es que $G\subset S_6$, y que $G$ es generado por las permutaciones $(1254)$ e $(2365)$.

Sin embargo, no puedo entender cómo expresar $G$ el uso de grupos conocidos como $S_n$, $A_n$, $D_n$, e $\mathbb Z_n$, el producto directo de los $\times$, y el semidirect producto $\rtimes$ (que no correspondan a ningún homomorphism especificado).

Por favor alguien puede mostrarme cómo busque el grupo correspondiente a este juego?

NOTA: Para alguien que tenga experiencia con la teoría de grupo, esto es probablemente un ejercicio fácil; sin embargo, para un principiante como yo, esto es muy confuso

Answer 1

BRECHA muestra que el grupo es, de hecho, isomorfo a $S_5$. Una interpretación geométrica fue solicitada para lo $5$ cosas se permutan. Considere el siguiente $5$ conjuntos de aristas entre los vértices.

$(1,2,5,4)\leftrightarrow(orange,blue,purple,green)$

$(2,3,6,5)\leftrightarrow(red,blue,purple,green)$

A ver que todo esto es de $S_5$ y no un subgrupo, calcular algunos de los productos de los elementos.

$(orange,blue,purple,green)*(red,blue,purple,green)=(red,purple,orange,blue,green)$

que tiene orden de $5$, por lo que el orden del grupo es un múltiplo de a$5$.

$(orange,blue,purple,green)*(red,blue,purple,green)^{-1}=(red,orange,blue)$

que tiene orden de $3$, por lo que el orden del grupo es un múltiplo de a$3$.

Y $(orange,blue,purple,green)$ tiene orden de $4$ por lo que el orden del grupo es un múltiplo de a$4$.

Ahora el orden del grupo debe ser un múltiplo de $3*4*5=60$, lo $S_5$ o $A_5$. Pero tenemos elementos de orden $4$ en nuestro grupo, lo que deja sólo a $S_5$.

Answer 2

Aquí hay algunos consejos para identificar el tipo de isomorfismo de un pequeño grupo como este:

• Determinar los generadores.
• Determinar el tamaño del grupo.
• Determinar las órdenes de sus elementos.
• Determinar las relaciones entre los generadores.

Una vez hecho esto, usted puede consultar la lista de grupos pequeños para obtener una lista corta de candidatos. Ya sabes que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_6$, así que usted puede consultar la lista de subgrupos de $S_6$ inmediato, por ejemplo aquí.

Aquí un comienzo de mi final; se han observado $G=\langle(1\ 2\ 5\ 4),(2\ 3\ 6\ 5)\rangle$. Debido a que estos dos $4$-ciclos no conmuta, esto implica $|G|$ es un múltiplo de a$8$. Además, el producto $$(1\ 2\ 5\ 4)(2\ 3\ 6\ 5)=(1\ 2\ 3\ 6\ 4),$$ muestra que $G$ tiene un elemento de orden $5$, por lo que su compra es un múltiplo de a$40$. Probar otra combinación de los generadores de rendimientos $$(1\ 2\ 5\ 4)(2\ 3\ 6\ 5)^2=(1\ 2\ 6\ 5\ 3\ 4),$$ por lo $|G|$ es un múltiplo de a$6$ así. El documento vinculado, a continuación, deja sólo tres tipos de isomorfismo para $G$; $S_5$, $A_6$ o $S_6$. Debido a que tanto los generadores son permutaciones impares, no puede ser $A_6$. Entonces es $S_5$ o $S_6$, y usted podría preguntar si cada permutación de vértices que puede lograrse.

Más simple, ya que $G$ contiene la $6$-ciclo $$(1\ 2\ 6\ 5\ 3\ 4)=(3\ 6\ 4\ 5)(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)(3\ 5\ 4\ 6),$$ y desde $(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6)$ y transposición generar $S_6$, usted podría preguntar si $G$ contiene ningún elemento de la forma $(3\ 6\ 4\ 5)\tau(3\ 5\ 4\ 6)$, donde $\tau$ es una transposición.

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Esta es claramente una muy ad hoc enfoque, y una cierta familiaridad con pequeños grupos va un largo camino en la toma de consideraciones. Utilizando un paquete de software, tales como la BRECHA puede ser una alternativa útil.