Combinatoria: ¿Cuántas personas les gustan las manzanas, las peras y las fresas?

Question

De $32$ personas, cada persona le gusta comer al menos uno de los siguientes tipos de frutas: Fresas, Manzanas y Peras. (Lo que significa que no existe ninguna persona a la que no le guste comer algún tipo de fruta). Además, sabemos que $20$ personas les gusta comer manzanas, $18$ personas les gusta comer peras y $28$ personas les gusta comer fresas.

(a) Hay $10$ personas que les gusta las manzanas y las peras, $16$ personas que les gusta las manzanas y las fresas, y $12$ personas que les gusta las peras y las fresas.

¿Cómo puedo averiguar cuántas personas les gusta tanto las manzanas como las peras como las fresas?

Para estructurar esto un poco:

• $32$ personas
• $20 \rightarrow$ manzanas ($\rightarrow$ que significa "les gusta")
• $18 \rightarrow$ peras
• $28 \rightarrow $ fresas

Y para (a)

• $10$ personas $\rightarrow$ (manzanas y peras)
• $16$ personas $\rightarrow$ (manzanas y fresas)
• $12$ personas $\rightarrow$ (peras y fresas)

Dado que sabemos que el número total de personas es $32$.

¿Puedo hacer lo siguiente?

Porque $20$ personas les gustan las manzanas, puedo simplemente sumar los siguientes números juntos:

$10 \rightarrow$ ($10$ manzanas & $0$ peras) + $16 \rightarrow$ ($6$ manzanas & $10$ fresas) $+ 12 \rightarrow$ ($12$ peras & $0$ fresas). Así que en total obtendría $10 + 16 + 12 = 28$ personas a quienes les gusta las manzanas, peras y fresas. ¿Es eso correcto?

(b) Supongamos que no se tiene la información en (a). Dar los límites preferiblemente para la cantidad de personas que les gusta comer todos los tipos de frutas.

Dado que $18$ personas les gusta comer peras, ¿puedo decir simplemente que $18$ personas les gusta comer peras, manzanas y fresas? (Como $18$ es la cantidad mínima de frutas).

Answer 1

La parte (a) es una pregunta mal planteada (casi en el espíritu de esta otra pregunta). Por inclusión/exclusión, usando los valores dados, el número de personas a las que les gustan las tres frutas es $$32-(20+18+28-10-16-12)=32-28=4$$ Entonces, el número de personas a las que les gustan las manzanas y alguna otra fruta(s) es $16+10-4=22$, que es mayor que las 20 personas que les gustan las manzanas.

Pero no importa. Para (b), dado que 18 personas les gustan las peras, el máximo número de personas a las que les gustan las tres frutas es 18, pero no podemos tener exactamente 18: 4 personas deben gustar solo las manzanas y 12 personas solo las fresas, momento en el que el número de personas es mayor que los fijos 32. Sin embargo, podemos tener 17 personas que les gusten las tres frutas, en cuyo caso

• 3, 1, 11 gustan solo de las manzanas, peras, fresas respectivamente
• nadie gusta exactamente de dos frutas

Para el otro extremo, consideremos la menor cantidad de personas que deben gustar al menos dos frutas fijas:

• 20 les gustan las manzanas y 18 les gustan las peras, así que dado que hay 32 personas, debe haber al menos $20+18-32=6$ personas a las que les gustan tanto las manzanas como las peras
• De manera similar, al menos $20+28-32=16$ les gustan las manzanas y las fresas; al menos 14, peras y fresas

Ahora coloquemos a estas personas "forzadas" de tal manera que nadie les gusten las tres frutas. Descubrimos que hay dos personas más de las estipuladas que les gustan las manzanas, por lo que al menos dos personas les gustan las tres frutas, y obtenemos el mismo resultado para las otras frutas. Por lo tanto, debemos fusionar seis personas en dos en el centro donde les gustan las tres frutas; afortunadamente, el número total de personas se convierte exactamente en 32. Así que el número mínimo de personas que les gustan las tres frutas es 2, con

• 14 les gustan solo manzanas/fresas
• 12 les gustan solo peras/fresas
• 4 les gustan solo manzanas/peras
• ninguno les gusta exactamente una fruta.

Ambas configuraciones para 17 y 2 personas que les gustan las tres frutas son válidas físicamente.

Answer 2

Lo que has calculado para la parte a) es el número de personas a las que no les gustan los tres. Entonces, dado que hay $32$ personas, y $28$ no les gustan los tres, el número de personas a las que les gustan Manzanas, Peras y Fresas es $4$.