¿Con qué velocidad nos movemos en la dimensión temporal?

Question

¿Tiene sentido la pregunta? La velocidad a lo largo del eje del tiempo significa $v_t=\mathrm dt/\mathrm dt$ ? Si no es así, por favor, explique dónde está el fallo. ¿Tomando el tiempo como medida al igual que la longitud? ¿O hay que diferenciar el tiempo con respecto a alguna otra cantidad? Se agradece la ampliación de la pregunta.

Answer 1

En la mecánica no relativista, el tiempo $t$ es un (universal) parámetro y las coordenadas de una partícula (en algún sistema de coordenadas inerciales) pueden expresarse como tres funciones, $x(t),y(t),z(t)$ de este parámetro universal $t$ . La velocidad de la partícula (en estas coordenadas) es entonces la derivada de la posición con respecto al parámetro $t$ :

$$\mathbf{v} = \frac{dx}{dt}\hat{\mathbf{x}} + \frac{dy}{dt}\hat{\mathbf{y}} + \frac{dz}{dt}\hat{\mathbf{z}}$$

Sin embargo, en la mecánica relativista (SR para simplificar), el tiempo $t$ es un coordenadas que depende del marco de referencia. Aún así, la línea del mundo de una partícula puede ser parametrizada con el tiempo adecuado $\tau$ que es esencialmente el tiempo de un reloj ideal fijado a la partícula ("tiempo de reloj de pulsera").

Las coordenadas de la partícula (en algún sistema de coordenadas inerciales) pueden expresarse entonces como cuatro funciones, $t(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau)$ del tiempo propio de la partícula $\tau$ . El cuatro velocidades de la partícula es entonces la derivada de la cuatro posiciones con respecto al parámetro $\tau$ :

$$\vec{U} = c\frac{dt}{d\tau}\hat{\mathbf{t}} + \frac{dx}{d\tau}\hat{\mathbf{x}} + \frac{dy}{d\tau}\hat{\mathbf{y}} + \frac{dz}{d\tau}\hat{\mathbf{z}}$$

Así, en este sistema de coordenadas, el componente de la cuatro-velocidad de la partícula en la dirección del tiempo es

$$U^0 = c\frac{dt}{d\tau}$$

Ahora, se puede demostrar que (la dilatación del tiempo)

$$dt = \gamma_v d\tau$$

donde

$$\gamma_v \equiv \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$

y

$$ v = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}$$

así

$$U^0 = c\gamma_v$$

Esta es, creo, una respuesta razonable a la pregunta "¿Con qué velocidad nos movemos por la dimensión temporal?" si, por velocidad se entiende la derivada de las coordenadas con respecto a un tiempo parámetro .

(nota: cuando estaba terminando de escribir esta respuesta, me di cuenta de que Ben Crowell había publicado esencialmente la misma respuesta, pero la publicaré de todos modos ya que está hecha).

Answer 2

Hay una variedad de convenciones diferentes para definir algunos de los detalles, pero la forma más común de describir esto, entre los relativistas, sería la siguiente. Tomamos unidades en las que $c=1$ . Existe un cuatro-vector de velocidad que es tangente a la línea del mundo de una partícula. La normalización de este cuatro-vector se define de manera que su norma es 1 (en $+---$ firma). Todo esto es independiente de las coordenadas.

Si ahora nos especializamos en coordenadas de Minkowski $(t,x,y,z)$ en el espaciotiempo plano, entonces las componentes del cuatro vector velocidad se convierten en la derivada de las coordenadas con respecto a adecuado tiempo $\tau$ (no coordinar el tiempo $t$ ), y la condición de normalización acaba haciendo que la componente temporal del vector velocidad sea el factor de Lorentz $\gamma$ . Esto es lo más cercano que tenemos, en la notación profesional común, a una forma útil de definir algo que sea útil y que corresponda de alguna manera a la noción de "velocidad a lo largo de la dimensión temporal". Es $\gamma$ .

En el caso especial en el que la partícula está en reposo con respecto al marco de Minkowski que se está utilizando, tenemos $\gamma=1$ . Esta es la justificación que se ve para la afirmación en las divulgaciones de que "nos movemos a través del espaciotiempo a la velocidad de la luz", ya que la velocidad de la luz es 1. Sin embargo, la mayoría de los relativistas se acobardan ante esta fraseología, que parece haber sido propagada por Brian Greene.

Answer 3

Exactamente a 1 segundo por segundo.

Answer 4

En la relatividad la coordenada temporal es $x_o=ct$ y su derivada temporal (en el marco de reposo) es $c$ . Por lo tanto, el componente temporal de cuatro velocidades es la velocidad de la luz en el vacío.