Número de la bobina de un polinomio

Question

Considere la posibilidad de $f(z) = c_n z^n + ... + c_1 z + c_0$ donde $c_n\ne 0$. Deje $C_R$ ser la circunferencia de radio $R$ centrada en el origen, orientada hacia la izquierda. Demostrar que la liquidación número de $f\circ C_R =n $ $R$ lo suficientemente grande.

Mi planteamiento:

Parametrizar $C_R$$\gamma(t) = Re^{it}$. Entonces $$\frac{1}{2\pi i}\int_{C_R} \frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_0^{2\pi} \frac{f'(\gamma(t))\gamma'(t)}{f(\gamma(t))}dt$$ $$=\frac{1}{2\pi }\int\limits_0^{2\pi} \frac{nc_n (Re^{it})^n + ... + c_1 Re^{it}}{c_n (Re^{it})^n+...+c_1Re^{it}+c_0}dt$$

Pensé que me quedé atrapado aquí, pero ahora estoy pensando en: que tal vez yo debería tomar el límite de $R\to \infty$ de la integral anterior, tomar el límite de la integral (desde el límite no es en términos de $t$) y, a continuación, observe que el integrando se convierte en $ndt$, y así la integral viene a $\frac{2\pi n}{2\pi}=n$? Sería este enfoque sea correcta? Yo creo que sí, porque $R$ debe ir hasta el infinito, con el fin de abarcar todas las posibilidades para todos los ceros de $f(z)$.

Answer 1

Por el Principio de la discusión, directamente obtenemos $\;R\;$ suficientemente grandes para que todas las raíces del polinomio están dentro el círculo $\;|z|=R\;$:

$$\frac1{2\pi i}\oint_{C_R}\frac{f'(z)}{f(z)}dz=n$$

y hemos terminado.

Answer 2

Supongamos el wlog $cn =1$. \,dz $$ \int{|z|=R}\frac{f'(z)}{f(z)} = \int{|z|=R}\left(\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{n}z + \frac{n}z\right)dz = \int{|z|=R}\left(\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{n}z\right)dz + 2\pi i n $$ y para algunos $M>0$ $$ \left|\int{|z|=R}\left(\frac{f'(z)} {} f (z)} - \frac{n}z\right)dz\right| = \left|\int{|z|=R}\frac{zf'(z) - nf(z)}{zf(z)} \,dz\right|\le\frac {Señor ^ {n-1}} {R ^ {n+1}} 2\pi R = \frac{2\pi M} r. $$