Hallar la raíz cuadrada de un número complejo: ¿por qué dos soluciones en lugar de cuatro?

Question

Quiero encontrar las raíces cuadradas de un número complejo, $w = a+ib \in \mathbb{C}$ Es decir, busco soluciones, $z = x + iy$ para la ecuación $z^2 = w$ .

Esta pregunta se ha planteado aquí un par de veces, pero sigo sin entender por qué sólo existen los dos soluciones, $$ z = \pm \left( \sqrt{\frac{|w|+a}{2}} + i \text{sgn}(b)\sqrt{\frac{|w|-a}{2}}\right) $$ .

¿Cómo puedo ver que mis resultados intermedios $$x=\pm \sqrt{\frac{|w|+a}{2}}\\ y=\pm \sqrt{\frac{|w|-a}{2}}$$ no pueden combinarse para obtener cuatro ¿Soluciones? Tengo la impresión de que me falta algo muy elemental.

Answer 1

La identificación $(x+\mathrm i\mkern1mu y)^2=a+\mathrm i\mkern1mu b$ conduce a la igualdad $2xy=b$ De ahí que los signos de $x$ y $y$ son iguales si $b> 0$ , al revés, si $b<0$ . Esto demuestra que no se pueden combinar los signos de las partes real e imaginaria de $z$ de manera arbitraria.

Answer 2

En un campo, como el de los números complejos, puede haber como máximo dos raíces cuadradas de cualquier elemento. Esto es una consecuencia de la Tm. Fundamental del Álgebra, que nos dice que un $n$ -polinomio de grado tiene a lo sumo $n$ raíces.

Aquí la aplicación es a un polinomio cuadrático $p(x) = x^2 - a$ para el elemento de campo $a$ . Cualquier raíz cuadrada de $a$ es una "raíz" (lugar cero) del polinomio $p(x)$ .

Así que, en particular, los números complejos tienen como máximo dos raíces cuadradas. Resulta que el único número complejo que no tiene dos raíces cuadradas diferentes es el cero, ya que cualquier raíz cuadrada tiene una inversa aditiva que también es una raíz cuadrada.

Answer 3

Entender la cuadratura y la extracción de raíces en los números complejos (o, más en general, cualquier cosa relacionada con la multiplicación que no implique la adición) es más fácil de entender en la imagen de "coordenadas polares", es decir, utilizando la longitud/módulo (distancia a cero) y el argumento (ángulo entre el eje posreal y la línea que va de 0 al número) del número en lugar de la parte real e imaginaria.

Si multiplicamos dos números complejos sus argumentos se suman y sus longitudes se multiplican. Ahora buscamos números $w$ tal que $w^2 = z$ . Esto significa que la longitud de $w$ multiplicado por sí mismo es la longitud de $z$ y que el argumento de $w$ sumado a sí mismo (es decir, multiplicado por 2) es igual al argumento de $z$ .

De ello se desprende que $|w| = \sqrt{|z|}$ (aquí sólo podemos utilizar la raíz positiva porque es una longitud) y $\arg(w) = 1/2 \arg(z)$ o - giro sorpresa - $\arg(w) = 1/2 \arg(z) + \pi$ (porque $2\pi = 0$ en términos de ángulos). Esto es todo lo que hay.

(Soy consciente de que esto es más una respuesta a la pregunta del título que a la del cuerpo de tu post)