Probabilidad de que dos variables aleatorias independientes sean iguales

Question

Suponga que $X$ $Y$ son dos variables aleatorias independientes que siguen la distribución binomial de parámetros $p$ (la probabilidad de un éxito) y $n$ (el número de ensayos).

Me preguntaba si hay una forma de expresar la probabilidad de que $X=Y$, otros que sumando todos los casos al$X=Y=k$,$k$$0$$n$, que va a dar la fórmula de $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^{2}p^{2k}(1-p)^{2n-2k}.$$

Edit: no estoy interesado en la informática o la reescritura de la suma anterior con algunos algebraicas trucos, pero en la búsqueda de otro probabilística o enfoque combinatorio para el problema que ceder a otro (tal vez "más agradable") respuesta.

Answer 1

Puede factorizar las constantes wrt$k$ y permanecer con la expresión de la forma $$ \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} ^ 2x ^ k $$ que desafortunadamente no tiene ' t tiene una forma cerrada Vea aquí para algunos detalles. Verás más enlaces en la respuesta a la pregunta allí.