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Cadena más pequeña de enteros consecutivos, no todos coprime

Deje que$t$ sea un entero positivo. ¿Cuál es el$t$% más pequeño para el cual podemos encontrar un entero$a$ de tal manera que cada elemento del conjunto$\{a+1,a+2,\dots ,a+t\}$ no sea coprime con todos los demás elementos del conjunto?

Creo que la respuesta es$t=17$, con$a=2183$, pero no estoy seguro. Esto está algo relacionado con la discusión aquí .

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Matthew Scouten Puntos 2518

Sí, es cierto. Probé todos los$t \le 17$ y todos los$0 \le a \le 30030 = 2\times 3\times 5 \times 7 \times 11 \times 13$.

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wujj123456 Puntos 171

Estoy ampliando la respuesta de Robert Israel. No creo que haya una buena forma de mostrar que$t=17$ es el mínimo sin búsqueda por computadora. Tenga en cuenta que es suficiente verificar si la propiedad requerida se mantiene para$a$ dentro de$\left\{0,1,2,\ldots,p_n\#-1\right\}$, donde$p_k$ es el$k$ - el número primo,$n$ es el más grande número entero tal que$p_n<t$, y$p_n\#$ es el primorial$$p_n\#=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_n\,.$$ That is because, if $ \ left \ {a +1, a +2, \ ldots, a + t \ right \} $ satisfies the requirement, then the greatest common divisor of $ a + i$ and $ a + j$, for $ i \ neq j$ is either $ 1$ or divisible by some prime $ p_j$ with $ j \ leq n$. Thus, if $ a$ meets the condition, then $ a + p_n \ # $ también lo hace.

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