Límite de una secuencia de una función.

Question

Sea,$f_{n}(x)=\dfrac{1}{n} \sum_{k=0}^{n} \sqrt {k(n-k)}{n\choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}$ para$x\in [0,1],n=0,1,2,...$

Si$\displaystyle \lim_{n\to \infty}f_{n}(x)=f(x)$ para$x\in [0,1]$, entonces el valor máximo de$f(x)$ en$[0,1]$ es

(A) 1

(B)$\dfrac{1}{2}$

(C)$\dfrac{1}{3}$

(D)$\dfrac{1}{4}$

Quiero encontrar el valor de$\displaystyle \lim_{n\to \infty}f_{n}(x)$ pero no puedo encontrarlo.

Sólo sé que$\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1$. Pero no puedo expresar esta suma por separado.

Answer 1

$f_n(x)$ no es nada pero un Polinomio de Bernstein de $\sqrt{x(1-x)}$.

Tenemos que $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \sqrt{x(1-x)}$.

Así, el máximo se produce en $x = 1/2$.

Nota: los polinomios de Bernstein puede ser utilizado para dar una constructivo de la prueba (entre muchas pruebas, constructivas o no constructivas) de la aproximación de Weierstrass teorema. Ellos también tienen una buena probabilística de la interpretación, que conduce a un libro de prueba de aproximación de Weierstrass teorema.

Answer 2

ya que$$f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}(1-\dfrac{k}{n})}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$ $ y deja que$$f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ $ use el teorema de Weierstrass tenemos$$|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon,n\to\infty$ $ así que$$\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)=\sqrt{x(x-1)}\le\dfrac{1}{2}$ $