¿Cómo pruebo que cada anillo es un semiring?

Question

Nota: Tome nota de que desde que escribí esta pregunta hace aproximadamente un año, me he tomado una teoría de la probabilidad del curso.

Esta no es una tarea para la casa. Estoy tratando de enseñar a mí la teoría de la probabilidad para este verano y actualmente estoy pasando a través de la introducción en la teoría de la medida en Klenke de la Teoría de la Probabilidad.

Estoy tratando de demostrar el Teorema 1.12(ii). Klenke no ir a través de algunos detalles, pero no se completa la prueba. La instrucción es:

Cada $\sigma$-ring es un anillo, y cada anillo es un semiring.

Tengo lo siguiente:

Deje $\mathcal{A}$ $\sigma$- ring. A continuación, $\mathcal{A}$ es, obviamente, un anillo. Desde $\mathcal{A}$ $\setminus$- cerrado, por el Teorema 1.4., es $\cap$-cerrado. Ahora vamos a $A,B \in \mathcal{A}$. Considere la posibilidad de $B \setminus A$...

Necesito mostrar que $B \setminus A$ es una unión finita de condiciones mutuamente disjuntas pone en $\mathcal{A}$. Ya he visto el ProofWiki versión de este; sin embargo, se utiliza una definición diferente. Yo estaba considerando la posibilidad de tomar $B \setminus A = B \cap A^{C} = (B^C \cup A)^C$, pero ¡ay!, $\mathcal{A}$ no es cerrado bajo la complementa.

Cualquier ayuda es muy apreciada. (Este es mi primer post aquí - espero que me hizo esto a la derecha!)

Answer 1

Busqué en google la misma pregunta y, a continuación, se llevan a su post aquí. Creo que he descubierto una prueba plena.

Antes de que mi escrito, me muestra las definiciones de Anillo y Semiring en Halmos' Teoría de la Medida, es decir,

Un Anillo(o Anillo Booleano) de conjuntos no es una clase vacía $R$ de los conjuntos tales que si $$ E ∈ R \ and \ F ∈ R$$ then $$(E ∪ F) ∈ R \ and \ (E - F) ∈ R$$.

Un Semiring de conjuntos no es una clase vacía $P$ de los Conjuntos tales que, si $$A, B ∈P$$ then $$(A ∩ B) ∈ P \ and \ (A - B)∈ P_{Σf}$$ where $P_{Σf} =$ {$ = \left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)| A_i ∈ P, A_i ∩ A_j = \emptyset \ para \ i≠j, i,j ∈$ {$i,2,3,...,n$}, $n \ es \ finito$}(Please note $$ n es finito).

Ahora comenzará la prueba de que es si $C$ es un Anillo, a continuación, tratar de demostrar que es un Semiring así.

Vamos $G_1$ = {$A' ∈ C| (A' ∩ B) ∈ C, (A' - B) ∈ C_{∑f}, \forall B ∈ C$} entonces es claro $G_1 \subset C$.

Deje $\forall A' ∈ C$.

Desde $\forall B ∈ C$ $=>$ $(A'-B) ∈ C$ $=>$ $\exists D_{A'} ∈ C$ tal que $(A'-B) = D_{A'}$. Desde $C \subset C_{∑f}$ $D_{A'} ∈ C_{∑f}$(en Realidad $D_{A'} = D_{A'} ∪ \emptyset$ que hizo a $D_{A'} ∈ C_{∑f}$). Aquí estamos en la mitad para mostrar $C \subset G_1$.

Siguiente desde $(A'∩B) = A'-(A'-B)$ y todavía tenemos $(A'-B) ∈ C$ debido a $A', B ∈ C$,$(A'∩B) ∈ C$.

Por lo $A' ∈ G_1$.

Desde $\forall A'$,$$C \subset G_1$$.

Combinado, $C = G_1$. Desde $G_1$ es un Semiring, vacuously, $C$ no puede decir una mentira ahora^_^