Es

Question

En esta pregunta, $F$ representa un complejo espacio de Hilbert con producto interior $\langle\cdot\;,\;\cdot\rangle$ y la norma $\|\cdot\|$. Deje $\mathcal{B}(F)$ el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores en $F$.

Deje $A\in\mathcal{B}(F)$ y considerar $$M=\{\langle Ax,x \rangle;\;x\in \text{Im}(A), \|x\|=1\}.$$

Deje $c\in M$, entonces no existe $x\in \text{Im}(A)$ tal que $\|x\|=1$$c=\langle Ax,x \rangle$.

Si no existe $(x_n)_n\subset \text{Im}(A)$ tal que $\|x_n-x\|\to 0$. Luego tenemos a $\langle Ax_n,x_n \rangle\to \langle Ax,x \rangle$. Además, claramente $\|x_n\|\to1$.

En este caso es cierto que $c=\langle Ax,x \rangle\in \overline{M}$? Donde $\overline{M}$ es el cierre de $M$ con respecto a la topología inducida por $\mathbb{C}$.

Mi problema es que sólo tenemos $\|x_n\|\to1$. Sin embargo, creo que en el fin de conseguir $\langle Ax,x \rangle\in \overline{M}$, se debe demostrar que $\|x_n\|=1$ todos los $n$.

Answer 1

Nota, that$$\lim_{n\to\infty}\frac{\langle Ax_n,x_n\rangle}{|xn|^2}=\lim{n\to\infty}\langle Ax_n,xn\rangle=\langle Ax,x\rangle,$$since $\lim{n\to\infty}|xn|=1$. But then$$\lim{n\to\infty}\left\langle A\frac{x_n}{|x_n|},\frac{x_n}{|x_n|}\right\rangle=\langle Ax,x\rangle.$$But each $\frac{x_n}{|x_n|} $ has norm $1$.