La topología de convergencia puntual y la topología de punto abierto son equivalentes

Question

Definición VII.1. En Nagata la Moderna Topología General construir la Topología de pointwise de convergencia de la siguiente manera:

Dado $x_1,\cdots,x_n\in X$$O_1,\cdots, O_n\in \mathcal{T}_Y$, vamos a $$[x_1,\cdots,x_n;O_1,\cdots, O_n]=\{f\in C(X,Y): f(x_i)\in O_i\}\;.$$ Entonces la familia $$PC(X, Y)=\{U\subconjunto de C(X, Y) : \text{para cualquier } f \en U \text{ hemos }f \in [x_1,\cdots,x_n;O_1,\cdots, O_n]\subconjunto de U \text{ para algunos } n\in \Bbb N, x_1,\cdots,x_n\X \text{ y } O_1,\cdots, O_n\in \mathcal{T}_Y\}$$ se llama la topología de pointwise convergencia en el set $C(X, Y)$.

1) $PC(X,Y)$ es una topología o una base para una topología en $C(X,Y)$?

Las otras referencias se definen punto de abrir la topología en $C(X)$ como sigue:

Deje $\Bbb F(X)$ denota el conjunto de todos subconjunto finito de $X$. para $A\in \Bbb F(X)$ y un conjunto abierto $V$$\Bbb R$, definir $[A,V]=\{f\in C(X): f(A)\subseteq V\}$. La colección de $\{[A,V]:A\in\Bbb F(X), V\text{ open in }\Bbb R\}$ forma una base para el punto de abrir la topología en $C(X)$.

2) Hacer estas dos definiciones son equivalentes?

Answer 1

1) $PC(X,Y)$ es la topología de la misma. Los conjuntos de $[x_1,\ldots,x_n;O_1,\ldots,O_n]$ formar una base, por definición.

Estos conjuntos son cerrados bajo intersecciones:

$$[x_1,\ldots,x_n;O_1,\ldots,O_n] \cap [x'_1,\ldots,x'_m;O'_1,\ldots,O'_m] = [x_1,\ldots,x_n,x'_1,\dots,x'_m; O_1,\ldots,O_n,O'_1,\ldots,O'_m]$$

y cubren $C(X,Y)$, claramente, de modo que formen la base para algunos de topología.

Tenga en cuenta que esto es sólo la topología de subespacio $C(X,Y)$ como un subespacio de la topología producto en $Y^X = \prod_{x \in X} Y$, todas las funciones (no necesariamente continua) de$X$$Y$. Esto es debido a que estos conjuntos son básicamente conjuntos de productos, que sólo dependen de un número finito de coordenadas ( $x_i$ ) y no tienen limitaciones en las otras coordenadas.

2) Sí, estas topologías son equivalentes. Los conjuntos de $[A;V]$ también forman una base para $PC(X,Y)$ a partir del 1. Ciertamente abierto: si $A = \{x_1,\ldots,x_n\}$$[A;V] = [x_1,\ldots,x_n;V,\ldots,V]$. Y $$[x_1,\ldots,x_n;O_1,\ldots,O_n] = \cap_{i=1}^n [\{x_i\}; O_i]$$ para los otros elementos básicos están abiertas en esta topología. Así que los sets básicos son "mutuamente abrir" para las topologías coinciden.