Demostrar que el plano de Moore no es normal

Question

Definición: Un espacio de Hausdorff es normal (o: $T_4$ ) si cada par de conjuntos cerrados disjuntos tiene vecindades disjuntas.

Entonces, tenemos

Ejercicio 5, pág. 158, Topología de Dugundji: Sea $X$ sea la parte superior del plano euclidiano $E^2$ delimitado por el $x$ -eje. Utilizar la topología euclidiana en $\{(x,y)\,|\, y>0\}$ pero definiendo vecindades de los puntos $(x,0)$ ser $\{(x,0)\}\cup [\text{open disc in $ \{(x,y)\|,|\\ y>0\} $ tangent to the $ x $-axis at $ (x,0) $}]$ . Demuestra que este espacio no es normal.

Es fácil ver que $X$ es Hausdorff. Así pues, lo que necesitamos es encontrar un par de conjuntos cerrados que no satisfagan la definición dada anteriormente. Aquí Alice Munro dice que $A=\{(x,0)\,|\, x\in \Bbb Q\}$ y $B=\{(x,0)\,|\, x\in \Bbb R-\Bbb Q\}$ son tales conjuntos. Puedo ver que son cerrados, pero ¿cómo puedo demostrar que no admiten vecindades disjuntas? (intuitivamente cierto, pero me cuesta escribirlo...)

Answer 1

Mi forma preferida (aunque la afirmación de que estos dos conjuntos son conjuntos disjuntos cerrados que no se pueden separar es cierta) es utilizar un hecho bien conocido de números cardinales en espacios normales a menudo llamado lema de Jones:

Sea $X$ sea $T_4$ . Si $D$ es un subconjunto denso de $X$ y $C$ es un subconjunto cerrado y discreto (como subespacio) de $X$ entonces $2^{|C|} \le 2^{|D|}$ .

Lo demuestro en esta respuesta utiliza el teorema de extensión de Urysohn para espacios normales: necesitamos muchas funciones continuas de valor real diferentes en $X$ para separar todos los subconjuntos de $C$ y $D$ limita ese número.

Allí muestro también cómo se aplica al plano de Moore (o plano de Niemytzki): el $x$ -es cerrado y discreto y $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}^+$ es contable y denso y $2^{|\mathbb{R}|} \not\le 2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|$ .