Densidad de una transformación cuadrática de una variable aleatoria normal

Question

Consideremos el vector aleatorio normalmente distribuido $$X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$$ ¿Cuál es la distribución de $Y = f(X)$ ?

En general $f$ este es un problema desafiante pero para el caso lineal afín $$f(x)_i = c_i + L_{ij}x_j$$ con $c$ un vector y $L$ una matriz. Sabemos que esto tiene una bonita forma cerrada. De hecho, $Y$ se distribuye de nuevo como una normal multivariante. $$Y \sim \mathcal{N}(c + L\mu, \;L\Sigma L^T)$$

Consideremos ahora el siguiente caso más sencillo. Consideremos que $f$ no es lineal, sino cuadrática. Es decir $$f(x)_i = c_i + L_{ij}x_j + H_{ijk} x_jx_k$$ con $c$ un vector, $L$ una matriz y $H$ un tensor de rango tres.

¿Existe una expresión de forma cerrada para la densidad de $Y$ ?

Answer 1

Los momentos de dicha transformación pueden encontrarse probablemente en la sección 2.2.3 de Kollo y von Rosen (2005) . Las transformaciones de este tipo se han utilizado en algunos simulaciones multivariantes . Tengo entendido que hay un libro sobre polinomios de distribuciones multivariantes pero no lo he visto, y no sé si se pueden encontrar allí las expresiones de forma cerrada para la densidad de esta transformación. En un caso univariado, se obtiene un (escalado y desplazado) no central $\chi^2$ distribución y la expresión de la densidad de la misma es un tanto confusa (funciones de Bessel e hipergeométricas, o series infinitas de distribuciones gamma ponderadas de Poisson).

Answer 2

Se respondió a una pregunta relacionada aquí . Para esa pregunta, la atención se centró en una forma cuadrática particular (la norma euclidiana al cuadrado), pero esto también debe ser una de las primeras cosas a considerar.

Una referencia recomendada es el libro "Quadratic forms in random variables" de Mathai y Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.), pero no recuerdo exactamente cómo de general es, no tengo el libro, y no hay vista previa en Google.

Los resultados de la norma con el general $\mu$ y $\Sigma$ sugieren claramente que no existe una expresión sencilla de forma cerrada para la densidad.