Cómo calcular el $e^x$ con una calculadora estándar

Question

Hay un método sencillo para el cálculo de la $e^x$ ($x\in\mathbb{R}$) con una base de sumar/restar/multiplicar/dividir calculadora que converge en un tiempo razonable, preferiblemente sin tener que memorizar los coeficientes como en el caso de la alimentación de la serie?

He encontrado uno para n^th raíces con iteración de Newton que es bastante más que muerta, simple y realmente me gustaría saber qué más puede hacer.

EDIT: no estoy realmente emocionado acerca de aproximación a menos que el resultado final es totalmente exacta. Hay algunas buenas ideas aquí, pero esta respuesta es la opción más sencilla para una completa exactitud el resultado de solo + / - / x/÷ calculadora.

También tengo una fuerte preferencia por los algoritmos de los cuales puede ser evaluado directamente paso a paso en la calculadora. De lo contrario, el papel y el lápiz o una excelente memoria que debe ser ejercido.

Answer 1

Esto es lo que yo haría para calcular el $e^x$, con una perfecta 8 dígitos de precisión.

1. Tome $\lfloor x\rfloor$$b = x - \lfloor x\rfloor$, el todo y las partes fraccionarias respectivamente. ($e^x = e^{\lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)} = e^{\lfloor x \rfloor} e^{x - \lfloor x \rfloor}$)

2. El uso de la $(((b/4 + 1)b/3 + 1)b/2 + 1)b + 1$ patrón para calcular el $e^{x - \lfloor x\rfloor}$. (Si la parte fraccionaria de que el exponente es .4 o menos, sólo en términos de la a a $b/7$ son necesarios para los 8 dígitos de precisión. Peor de los casos ($b \rightarrow 1$) a $b/10$ son necesarios.) Este método es fácil de implementar en una simple calculadora, especialmente aquellos con una ranura de memoria rápidamente vuelva a $b$.

3. Cuando eso esté terminado, se multiplica por $e$ ($\approx 2.71828183$ por memorización) y pulse el botón igual $\lfloor x\rfloor$ de veces que se repite se multiplican. El resultado es $e^x$.

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He analizado el número de términos necesarios para la plena exactitud. Aquí está la tabla (haga clic para ver imagen completa):

Básicamente, si los términos del contrato hasta el $b/t$ es necesario para calcular el $e^x$ hasta 8 dígitos de precisión (7 dígitos después del punto decimal), la contabilidad de redondeo ($\frac{1}{2}$ plazo), la relación entre el $x$ $t$ está dado por $\sqrt[t]{\frac{1}{2}10^{-7}t!} = x$.

Answer 2

El eco de Robert, y lhf comentarios de Padé funciona muy bien para la aproximación a los efectos. El $[2,2]$ approximant es fácil de recordar, en particular:

$$\exp(z)\approx\frac{(z+3)^2+3}{(z-3)^2+3}$$

pero, por supuesto, es trivial para generar orden superior approximants (sin embargo, los coeficientes no son tan fáciles de recordar).

He aquí, pues, cómo hacer esta aproximación un poco más de práctica: esto depende de la costumbre de identidad

$$\exp(2z)=\exp(z)^2$$

El "repetido cuadrar" la idea es la siguiente, para el caso de $z > 0$:

1. Mantener reducir a la mitad el argumento de $z$ hasta $|z| < 0.1$. Nota de cuántas veces se reduce a la mitad el argumento. Llamarlo $n$.

2. Evaluar el $[2,2]$ approximant en este reducido argumento.

3. Cuadrado el resultado del paso anterior $n$ veces.

El resultado de esto debe ser bueno para ocho dígitos. Para el argumento negativo, negar el argumento de la primera, se aplican las repetidas cuadratura método, y de corresponder el resultado después. ($\exp(-z)=\frac1{\exp(z)}$)

Answer 3

Si $x$ no es demasiado grande, usted podría tratar de aproximar $e^x$ $(1 + x/n)^n$ para algunos un gran $n$ (no demasiado grandes, o de ejecutar en el error de redondeo). Algo mejor es $(1 + x/n + x^2/(2 n^2))^n$. Por ejemplo, con $x = 1$$n = 1000$, $(1 + 1/1000 + 1/(2\cdot 1000^2))^{1000} \approx 2.718281376$; el valor correcto es $e = 2.717281828$.

[MODIFICAR: ] Si no quieren que los poderes, podría intentar la continuación de la fracción $$ e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{2 + \cfrac{x}{3 - \cfrac{x}{2 + \cfrac{x}{5 - \cfrac{x}{2 + \cdots}}}}}}$$

Answer 4

Usted puede desear intentar un Padé approximant. Ver también http://mathoverflow.net/questions/41226/pade-approximant-to-exponential-function/41228#41228.

Answer 5

Tal vez la definición con las sumas y factoriales podría ser lo que usted puede utilizar.

O probar Expansión de Taylor; que funciona en un montón de cosas.