Definición de representaciones; representaciones y productos semidirecto

Question

Deje $G$ ser un grupo, $X$ un conjunto. Definición de una acción $G\times X \to X$ es la misma como la definición de un grupo de morfismos $\rho: G\to Sym(X)$ a través de la fórmula de $g\cdot - = \rho(g)$. Los morfismos $\rho$ se llama permutación de la representación.

Ahora, en lo poco de teoría de la representación que he estudiado se reemplaza el conjunto de $X$ con un espacio vectorial $V$, entonces la definición de un grupo de morfismos $\rho: G \to GL(V)$ es la misma que la definición de una acción $G\times V \to V$ tal que $g\cdot-$ es lineal para cada g, a través de la misma fórmula $g\cdot - = \rho(g)$. Los morfismos $\rho$ se llama una representación lineal.

La primera pregunta es: ¿en qué otros objetos puedo hacer que mi grupo? ¿Cuáles son las condiciones para la anterior construcciones para dar sentido a la hora de recoger un objeto $X$ a partir de una determinada categoría, y recogiendo $Aut(X)$ el conjunto de isomorphisms de $X$?

Anexos: 1) y cuando se esta fructífera? En qué categorías de acciones se ha estudiado?

2) Ya que siempre puede definir a través de un morfismos tal categorial de la representación, cuando es equivalente a la definición de la forma $G\times X \to X$?

Para la segunda pregunta: la construcción de la semidirect producto de grupos $N$, $Q$ implica un morfismos $Q \to Aut(N)$. Uno dice que $Q$ actúa en $N$ por automorfismos. Acabo de darme cuenta de por qué uno dice que es así, y es porque es sólo otro caso de una "acción con extra de la estructura". En este caso es lo mismo dar un morfismos de dar una acción $Q \times N \to N$ tal que $q\cdot -$ es un grupo de morfismos para cada $q$.

Así que el semidirect producto está vinculado a las representaciones de esta manera. La segunda pregunta es, ¿hay analógica construcciones con otro tipo de representaciones? Lo que quiero decir es: hacer un grupo sobre otro grupo de los rendimientos de un nuevo grupo (el semidirect producto) que tiene como base el producto directo de dos grupos. Hacer acciones sobre las diferentes categorías de rendimiento de los nuevos objetos de una manera similar?

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es esencialmente nada. Dado cualquier grupo $G$ y un objeto $X$ en categoría $C$, una representación de $G$ $X$ es, precisamente, un grupo de homomorphism $G \to \text{Aut}(X)$. Por ejemplo, se pueden hacer grupos de actuar en

• abelian grupos,
• espacios topológicos, tales como colectores,
• gráficos,
• categorías,

y así sucesivamente. El refinamiento de su primera pregunta es abordado por este MO pregunta.

Si $C$ hormigón es una categoría (categoría de conjuntos y la estructura y la preservación de los mapas entre conjuntos), a continuación, dando a un grupo de acción de $G$ $X$ es lo mismo que dar un mapa de $G \times X \to X$ satisfacer ciertas propiedades, pero en general no es posible dar sentido al objeto de $G \times X$ si $G$ es sólo un grupo ordinario. Si quieres una definición general de las acciones del grupo a lo largo de estas líneas, creo que lo correcto es hablar de un grupo de objetos en $C$ en lugar de grupos y exigir que $C$ tener, decir, finito de productos. Entonces debe ser verdad que una acción de un grupo de objetos en $C$ sobre un objeto en $C$ es el mismo que el de un morfismos $G \times X \to X$ satisfacer ciertas propiedades, donde $\times$ es el producto en $C$.

Por ejemplo, un objeto de grupo en $\text{Top}$ es un grupo topológico, y un grupo de acción de un grupo topológico en un espacio topológico es precisamente un mapa continuo $G \times X \to X$ la satisfacción de ciertas propiedades. En situaciones como esta, esta definición de la realidad es preferible, ya que creo $\text{Aut}(X)$ no siempre puede ser definida como un grupo topológico de la manera correcta.

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Mientras que usted está pensando acerca de la categoría de la teoría del todo, hay maneras naturales para generalizar la noción de representación, es decir, a functors. Un grupo de $G$ puede ser considerado como una categoría con un objeto y un morfismos $g$ por cada $g \in G$ que la componen de acuerdo a la forma de componer en $G$, y una permutación representación de $G$ no es nada más que un functor $G \to \text{Set}$, una representación lineal no es más que un functor $G \to \text{Vect}$, y así sucesivamente.

Así que no sólo se puede considerar la más general de las categorías de destino, pero también se puede considerar la más general de las categorías de fuentes, y esto es enormemente fructífera idea, incluso si nos limitamos a las situaciones que se parecen vagamente como grupo de representaciones. Por ejemplo, conduce a la aljaba de representaciones, Lawvere teorías, topológica de las teorías cuánticas del campo... y, por supuesto, la idea general de un functor es enormemente fructífera así.

Answer 2

Para la primera pregunta: una situación en la que otras representaciones han sido muy útiles en finita de la teoría de grupos finitos y la geometría. Hay una relación muy estrecha entre ciertos grupos finitos y ciertas geometrías finitas, y por lo tanto las direcciones son útiles.

Muchos simples grupos fueron descubiertas a partir de su (finito) propiedades geométricas. Por ejemplo, el Matheiu grupos puede ser entendida como (derivados de) automorphism grupos de Steiner sistemas, la proyectiva finita clásica grupos son todos automorphism grupos de geometrías finitas como espacios proyectivos, los esporádicos grupo HS es la automorphism grupo de la Higman–Sims gráfico.

Para entender algunas de fantasía planos proyectivos, Dickson y Zassenhaus clasificado todos finito cerca de los campos. Más tarde Suzuki clasificado todos los Zassenhaus grupos, que se parecen mucho a la automorphism grupos de planos proyectivos, sino que también incluye a una familia infinita de nuevas simple grupos, la Suzuki grupos.

Muchas investigaciones sobre la estructura de la permutación de grupos rápidamente heredar geométrico que siente, y muchos de investigaciones en geometría finita requieren delicado clasificaciones. Muchos de los trabajos de William Kantor representan estas dos ideas bastante bien.

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Para la segunda pregunta, yo creo que depende de lo que usted desea utilizar la nueva construcción. Un agradable efecto de semi-directa de los productos es la que permite que uno considere la posibilidad de cualquier grupo que actuando sobre cualquier otro grupo como si el primero es actuar por la conjugación. Esto significa que usted puede usar cosas extrañas como la del teorema de Sylow en el actor o la actee. Parece una ventaja se pierde si el actor y el actee son los diferentes tipos de objetos.

Sin embargo, usted puede tomar un semi-producto directo de un grupo de matrices y de un espacio vectorial, y esto es bastante potente. Se permite el uso de teoría de grupos para entender una representación, y la representación de la teoría para comprender un grupo. De nuevo, funciona muy bien debido a que tanto el grupo y el espacio vectorial son matrices, por lo que tiene un terreno común para trabajar con ambos.